Théorème de Dvoretzky-Rogers

Pour le démontrer, on considère une suite de sous-espaces de dimensions finies appropriées, dans lesquels on choisit, à l'aide du corollaire ci-dessus, les vecteurs voulus.

En appliquant le théorème de Dvoretzky-Rogers à des a_n positifs tels que la somme des a_n² soit finie mais pas la somme des a_n — par exemple a_n = 1/n —, on conclut que si un espace de Banach est de dimension infinie, alors il contient des séries commutativement convergentes mais non absolument convergentes. Comme le théorème de réarrangement de Riemann garantit la réciproque, on en déduit le corollaire suivant (parfois nommé aussi « théorème de Dvoretzky-Rogers ») :

Un espace de Banach E est de dimension finie si et seulement si, dans E, toute série commutativement convergente est absolument convergente.

D'après un théorème de Władysław Orlicz, toute série commutativement convergente ∑_nx_n dans L^p([0, 1]) (avec 1 ≤ p < ∞), vérifie ∑_n║x_n║^r < +∞ pour r = max(2, p). Par conséquent, dans L²([0, 1]), une série ∑_nx_n telle que ∑_n║x_n║² = +∞ ne peut pas être commutativement convergente. Ceci montre que l'hypothèse du théorème de Dvoretzky-Rogers ne peut pas être affaiblie puisque pour cet espace, la condition suffisante est également nécessaire.

Inversement, le théorème de Dvoretzky-Rogers rend naturelle, dans le théorème d'Orlicz, la restriction aux exposants supérieur ou égaux à 2, puisqu'il montre que pour tout espace de Banach de dimension infinie, si un nombre r est tel qu'une série commutativement convergente ∑_nx_n vérifie toujours ∑_n║x_n║^r < +∞, alors ℓ² ⊂ ℓ^r donc r ≥ 2.

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