Théorème de Godounov

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La présentation ci-dessous est celle de Pieter Wesserling^[3].

Supposons qu'un problème continu décrit par une équation aux dérivées partielles portant sur la fonction ${\displaystyle \varphi }$ doive être résolu à l'aide d'un schéma numérique basé sur une grille de calcul uniforme comportant M points et un algorithme d'intégration à un pas, implicite ou explicite. Alors, si ${\displaystyle x_{j}=j\,\Delta x}$ and ${\displaystyle t^{n}=n\,\Delta t}$, un tel schéma peut être décrit par :

${\displaystyle \sum _{m=1}^{M}{\beta _{m}}\varphi _{j+m}^{n+1}=\sum _{m=1}^{M}{\alpha _{m}\varphi _{j+m}^{n}}}$

Autrement dit, la solution ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ à l'instant ${\displaystyle n+1}$ et à la position ${\displaystyle j}$ est une fonction linéaire de la solution à l'instant précédent ${\displaystyle n}$. On suppose que ${\displaystyle \beta _{m}}$ détermine ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ de manière unique. Puisque l'équation ci-dessus représente une relation linéaire entre ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$ et ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$, nous pouvons effectuer une transformation linéaire pour obtenir la forme équivalente suivante :

${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}=\sum \limits _{m}^{M}{\gamma _{m}\varphi _{j+m}^{n}}}$

Le schéma ci-dessus de l'équation ci-dessus préserve la monotonie si et seulement si :

${\displaystyle \gamma _{m}\geq 0\,,\;\forall m}$

Démonstration - Godunov (1959)

Cas 1 : condition suffisante

Supposons que le critère ci-dessus soit vérifié et que ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$ soit croissante en fonction de ${\displaystyle j}$.

Alors, puisque ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\leq \varphi _{j+1}^{n}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n}}$, il s'ensuit que ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}\leq \varphi _{j+1}^{n+1}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n+1}}$ car

${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}-\varphi _{j-1}^{n+1}=\sum \limits _{m}^{M}{\gamma _{m}\left({\varphi _{j+m}^{n}-\varphi _{j+m-1}^{n}}\right)}\geq 0}$

Cela signifie que la monotonie est préservée dans ce cas.

Cas 2 : condition nécessaire

Nous démontrons la condition nécessaire par l'absurde. Supposons que ${\displaystyle \gamma _{p}^{}<0}$ pour un certain p et choisissons les fonctions ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\,}$ croissantes suivantes :

${\displaystyle \varphi _{i}^{n}=0\,,\quad i<k\;;\quad \varphi _{i}^{n}=1\,,\quad i\geq k}$

Alors, à partir de l'équation établie dans le cas 1 on obtient :

${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}-\varphi _{j-1}^{n+1}=\sum \limits _{m}^{M}{\gamma _{m}}\left({\varphi _{j+m}^{n}-\varphi _{j+m-1}^{n}}\right)={\begin{cases}0\,,&j+m\neq k\\\gamma _{m}\,,&j+m=k\\\end{cases}}}$

Choisissons ${\displaystyle j=k-p}$, alors :

${\displaystyle \varphi _{k-p}^{n+1}-\varphi _{k-p-1}^{n+1}={\gamma _{p}\left({\varphi _{k}^{n}-\varphi _{k-1}^{n}}\right)}<0}$

Ce qui implique que ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$ n'est pas croissante, et nous avons une contradiction. Ainsi, la monotonie n'est pas préservée pour ${\displaystyle \gamma _{p}<0}$, ce qui achève la démonstration.

On s'intéresse aux schémas numériques linéaires à un pas et précis au second ordre pour l'équation de convection

${\displaystyle {{\partial \varphi } \over {\partial t}}+c{{\partial \varphi } \over {\partial x}}=0\,,\quad t>0\,,\quad x\in \mathbb {R} }$

qui ne peuvent pas préserver la monotonie sauf si

${\displaystyle \sigma =\left|c\right|{{\Delta t} \over {\Delta x}}\in \mathbb {N} }$

où ${\displaystyle \sigma }$ est le nombre de Courant-Friedrichs-Lewy.

Démonstration - Godunov (1959)

Considérons un schéma numérique de la forme décrite dans le théorème 1 et choisissons :

${\displaystyle \varphi \left({0,x}\right)=\left({{x \over {\Delta x}}-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}\,,\quad \varphi _{j}^{0}=\left({j-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}}$

La solution exacte est :

${\displaystyle \varphi \left({t,x}\right)=\left({{{x-ct} \over {\Delta x}}-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}}$

Si l'on suppose que le schéma est précis au moins à l'ordre deux, il devrait produire la solution suivante :

${\displaystyle \varphi _{j}^{1}=\left({j-\sigma -{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}\,,\quad \varphi _{j}^{0}=\left({j-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}}$

Soit, par substitution :

${\displaystyle \left({j-\sigma -{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}=\sum \limits _{m}^{M}{\gamma _{m}\left\{{\left({j+m-{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}}\right\}}}$

Supposons que le schéma préserve la monotonie ; alors, d'après le théorème 1 ${\displaystyle \gamma _{m}\geq 0}$.

Il ressort clairement de cette équation que :

${\displaystyle \left({j-\sigma -{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}\geq 0\,,\quad \forall j}$

Supposons ${\displaystyle \sigma >0\,,\;\sigma \notin \mathbb {N} }$ et choisissons ${\displaystyle j}$ tel que ${\displaystyle j>\sigma >\left(j-1\right)}$. Ceci implique que ${\displaystyle \left({j-\sigma }\right)>0}$ et ${\displaystyle \left({j-\sigma -1}\right)<0}$.

Il s'ensuit donc que :

${\displaystyle \left({j-\sigma -{1 \over 2}}\right)^{2}-{1 \over 4}=\left(j-\sigma \right)\left(j-\sigma -1\right)<0}$

ce qui contredit l'équation établie ci-dessus et achève la démonstration.

Remarque

Le cas exceptionnel où ${\displaystyle \sigma =\left|c\right|{{\Delta t} \over {\Delta x}}\in \mathbb {N} }$ ne présente qu'un intérêt théorique car il est impossible de le réaliser avec des coefficients variables. De plus, des nombres entiers supérieurs à l'unité (condition de Courant-Friedrichs-Lewy) ne seraient pas réalisables en pratique.