Schéma de minimisation de la variation totale

En mécanique des fluides numérique apparaît le problème des discontinuités, par exemple un choc. Les anciens schémas sont sujet aux instabilités et aux oscillations. Pour capturer cette variation avec des schémas standard (différences finies centrées, décentrés ou hybrides) des maillages fins sont nécessaires, ce qui rend les calculs coûteux, d'autant que la position de la discontinuité est inconnue a priori. Le schéma TVD est utilisé pour obtenir des prédictions de choc plus précises, sans oscillations parasites. Il permet l'utilisation d'un maillage plus grossier, ce qui réduit le temps de calcul. De plus, comme il préserve la monotonie, la solution est exempte d'oscillations parasites.

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Prenons l'exemple de l'équation d'advection hyperbolique suivante :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

La variation totale est donnée par :

${\displaystyle V(u(\cdot ,t))=\int \left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|\mathrm {d} x}$

et la variation totale dans le cas discret est :

${\displaystyle V(u^{n})=V(u(\cdot ,t^{n}))=\sum _{j}\left|u_{j+1}^{n}-u_{j}^{n}\right|}$

où ${\displaystyle u_{j}^{n}=u(x_{j},t^{n})}$

Un schéma numérique est dit à « variation totale décroissante » (TVD) si :

${\displaystyle V\left(u^{n+1}\right)\leq V\left(u^{n}\right)}$

Si ${\displaystyle u^{n}}$ est monotone croissante (ou décroissante) dans l'espace et que ${\displaystyle u^{n+1}}$ l'est également alors le schéma est dit monotone.

Harten a démontré les propriétés suivantes pour un schéma numérique :

• un schéma monotone est TVD ;
• un schéma TVD préserve la monotonie.

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Considérons l'équation de convection-diffusion en régime permanent :

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }}$,

où ${\displaystyle \textstyle \rho }$ est la masse volumique, ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} }$ est le vecteur vitesse, ${\displaystyle \textstyle \phi }$ est la propriété transportée, ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ est le coefficient de diffusion et ${\displaystyle S_{\phi }}$ est le terme source responsable de la génération de la propriété ${\displaystyle \textstyle \phi }$.

La loi de conservation de ${\displaystyle \textstyle \phi }$ dans un volume de contrôle s'écrit :

${\displaystyle \int _{A}\mathbf {n} \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,\mathrm {d} A=\int _{A}\mathbf {n} \cdot (\Gamma \nabla \phi )\,\mathrm {d} A+\int _{\mathcal {V}}S_{\phi }\,\mathrm {d} {\mathcal {V}}}$

Ici ${\displaystyle \textstyle \mathbf {n} }$ désigne la normale à la surface du volume de contrôle ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {V}}}$.

Dans le cas unidimensionnel et en négligeant le terme source, l'équation se réduit à :

${\displaystyle (\rho u\phi A)_{r}-(\rho u\phi A)_{l}=\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{r}-\left(\Gamma A{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{l}}$

où les indices ${\displaystyle \textstyle r}$ et ${\displaystyle \textstyle l}$ désignent droite et gauche, respectivement.

En supposant :

${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\delta \phi }{\delta x}}}$ et ${\displaystyle \textstyle A_{r}=A_{l}}$ l'équation se réduit à :

${\displaystyle (\rho u\phi )_{r}-(\rho u\phi )_{l}\,=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{r}-\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\delta \phi \right)_{l}}$

Par exemple :

${\displaystyle F_{r}=(\rho u)_{r}\,,\qquad F_{l}=(\rho u)_{l}}$

${\displaystyle D_{l}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{l}\,,\qquad D_{r}=\left({\frac {\Gamma }{\delta x}}\right)_{r}}$

D'après la figure :

${\displaystyle \delta \phi _{r}=\phi _{R}-\phi _{P};\qquad \delta x_{r}=x_{PR}}$

${\displaystyle \delta \phi _{l}=\phi _{P}-\phi _{L};\qquad \delta x_{l}=x_{LP}}$

L'équation devient :

${\displaystyle F_{r}\phi _{r}-F_{l}\phi _{l}=D_{r}(\phi _{R}-\phi _{P})-D_{l}(\phi _{P}-\phi _{L})}$

L'équation de continuité doit également être satisfaite sous une forme équivalente pour ce problème :

${\displaystyle (\rho u)_{r}-(\rho u)_{l}\,=0\ \ \Longleftrightarrow \ \ F_{r}-F_{l}=0\ \ \Longleftrightarrow \ F_{r}=F_{l}=F}$

En supposant que la diffusivité massique est homogène et que le maillage est régulier, on peut écrire :

${\displaystyle \Gamma _{l}=\Gamma _{r}\,,\qquad \delta x_{LP}=\delta x_{PR}=\delta x}$

On définit :

${\displaystyle D_{l}=D_{r}=D}$

L'équation se simplifie alors en :

${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\,F=D\,(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$

L'équation ci-dessus peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle (\phi _{r}-\phi _{l})\,Pe=(\phi _{R}-2\phi _{P}+\phi _{L})}$

où ${\displaystyle \textstyle Pe}$ est le nombre de Péclet :

${\displaystyle Pe={\frac {F}{D}}={\frac {\rho u\delta x}{\Gamma }}}$

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Le schéma de minimisation de la variation totale^[2],[3] suppose que les valeurs de ${\displaystyle \textstyle \phi _{r}}$ et ${\displaystyle \textstyle \phi _{l}}$ doivent être substituées dans l'équation discrétisée comme suit :

${\displaystyle \phi _{r}\,Pe={\frac {1}{2}}(Pe+|Pe|)[f_{r}^{+}\phi _{R}+(1-f_{r}^{+})\phi _{L}]+{\frac {1}{2}}(Pe-|Pe|)[f_{r}^{-}\phi _{P}+(1-f_{r}^{-})\phi _{RR}]}$

${\displaystyle \phi _{l}\,Pe={\frac {1}{2}}(Pe+|Pe|)[f_{l}^{+}\phi _{P}+(1-f_{l}^{+})\phi _{LL}]+{\frac {1}{2}}(Pe-|Pe|)[f_{l}^{-}\phi _{L}+(1-f_{l}^{-})\phi _{R}]}$

Où ${\displaystyle \textstyle Pe}$ est le nombre de Péclet et ${\displaystyle \textstyle f}$ la fonction de pondération à déterminer sous la forme :

${\displaystyle f=f\left({\frac {\phi _{U}-\phi _{UU}}{\phi _{D}-\phi _{UU}}}\right)}$

où ${\displaystyle U}$ désigne l'amont, ${\displaystyle UU}$ désigne l'amont de ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle D}$ désigne l'aval.

On note que ${\displaystyle \textstyle f^{+}}$ est la fonction de pondération lorsque le flux est dans le sens positif (c'est-à-dire de gauche à droite) et ${\displaystyle \textstyle f^{-}}$ est la fonction de pondération lorsque le flux est dans le sens négatif (de droite à gauche), donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{r}^{+}{\text{ est une fonction de }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{L}}{\phi _{R}-\phi _{L}}}\right),\\[10pt]&f_{r}^{-}{\text{ est une fonction de }}\left({\dfrac {\phi _{R}-\phi _{RR}}{\phi _{P}-\phi _{RR}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{+}{\text{ est une fonction de }}\left({\dfrac {\phi _{L}-\phi _{LL}}{\phi _{P}-\phi _{LL}}}\right),\\[10pt]&f_{l}^{-}{\text{ est une fonction de }}\left({\dfrac {\phi _{P}-\phi _{R}}{\phi _{L}-\phi _{R}}}\right).\end{aligned}}}$

Si le flux est de sens positif, alors le nombre de Péclet ${\displaystyle Pe}$ est positif et le terme ${\displaystyle \textstyle (Pe-|Pe|)=0}$, donc la fonction ${\displaystyle \textstyle f^{-}}$ n'intervient pas dans les hypothèses concernant ${\displaystyle \textstyle \phi _{r}}$ et ${\displaystyle \textstyle \phi _{l}}$. De même, lorsque le flux est de sens négatif, ${\displaystyle \textstyle Pe}$ est négatif et le terme ${\displaystyle \textstyle (Pe+|Pe|)=0}$, donc la fonction ${\displaystyle \textstyle f^{+}}$ n'intervient pas dans les hypothèses concernant ${\displaystyle \textstyle \phi _{r}}$ et ${\displaystyle \textstyle \phi _{l}}$.

Elle prend donc en compte les valeurs de la propriété en fonction du sens d'écoulement et, en utilisant des fonctions pondérées, tente d'obtenir la monotonie de la solution, produisant ainsi des résultats sans chocs parasites.