Limiteur de flux (analyse numérique)

En analyse numérique le limiteur de flux est une technique utilisée dans les schémas numériques à haute résolution employés pour résoudre les problèmes de dynamique des fluides numérique décrits par des équations aux dérivées partielles. Ils sont utilisés dans des schémas tels que le schéma MUSCL afin d'éviter les oscillations parasites qui se produisent avec des schémas de discrétisation spatiale d'ordre élevé en raison de discontinuités dans le domaine de résolution. L'utilisation de limiteurs de flux, combinée à un schéma à haute résolution approprié, permet de réduire la variation totale des solutions (schémas TVD).

Il est à noter que les limiteurs de flux sont souvent confondus avec les limiteurs de pente car ils ont la même forme mathématique et ont tous deux pour effet de limiter le gradient de la solution au voisinage des chocs ou des discontinuités. En général, le terme limiteur de flux est utilisé lorsque le limiteur agit sur les flux du système, et le terme limiteur de pente est utilisé lorsque le limiteur agit sur les états du système (comme la pression, la vitesse, etc.).

Ils sont fonctionnellement analogues aux limiteurs de flux utilisés pour le transfert radiatif mais techniquement très différents car dérivant de considérations heuristiques.

L'idée principale derrière la construction des limiteurs de flux est de limiter les dérivées spatiales à des valeurs réalistes. Ils sont utilisés dans les schémas à haute résolution pour résoudre les problèmes comportant des discontinuités. Pour les ondes à variation continue les limiteurs de flux ne fonctionnent pas et les dérivées spatiales peuvent être représentées par des approximations d'ordre supérieur sans introduire d'oscillations parasites. Considérons le schéma semi-discret unidimensionnel ci-dessous :

{\frac {du_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)-F\left(u_{i-{1}/{2}}\right)\right]=0

où $F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)$ et $F\left(u_{i-1/2}\right)$ représentent les flux de bord pour la i-ème cellule. Si ces flux de bord peuvent être représentés par des schémas de résolution « basse » et « haute », un limiteur de flux peut alors basculer entre ces schémas en fonction des gradients proches de la cellule considérée :

F(u_{i+1/2})=f_{i+1/2}^{low}-\phi (r_{i}(f_{i+1/2}^{low}-f_{i+1/2}^{high})

F(u_{i-1/2})=f_{i-1/2}^{low}-\phi (r_{i-1}(f_{i-1/2}^{low}-f_{i-1/2}^{high})

où

$f^{\text{low}}$ représente le flux à basse résolution,
$f^{\text{high}}$ le flux à haute résolution,
$\phi \ (r)$ le limiteur de flux,
$r$ le rapport des gradients successifs sur le maillage de la solution :

r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}

On a $\phi (r)\geq 0$ . Par conséquent, lorsque le limiteur est égal à zéro (gradient abrupt, pentes opposées ou gradient nul) le flux est représenté par un « schéma à basse résolution ». De même, lorsque le limiteur est égal à 1 (solution lisse) on parle de « schéma haute résolution ». Les différents limiteurs présentent des caractéristiques de commutation distinctes et sont sélectionnés en fonction du problème et du schéma de solution. Aucun limiteur n'est universellement efficace ; le choix se fait généralement par tâtonnement.

Exemples

Voici quelques formes courantes de limiteurs de flux ou de pente, $\phi (r)$ :

CHARM (n'est pas du 2e ordre TVD)^[1]

$\quad \phi _{cm}(r)={\begin{cases}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}}\,,&r>0,&\lim _{r\to \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,&r\leq 0\end{cases}}$

HCUS (n'est pas du 2e ordre TVD)^[2]

\quad \phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+2\right)}}\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hc}(r)=3

HQUICK (n'est pas du 2e ordre TVD)^[2]

\quad \phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+3\right)}}\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hq}(r)=4

Koren^[3] – précision du troisième ordre pour des données suffisamment régulières^[4]

\quad \phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,{\dfrac {(1+2r)}{3}},2\right)\right]\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{kn}(r)=2

minmod – symétrique^[5]

\quad \phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right]\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mm}(r)=1

central monotone (MC) – symétrique^[6]

\quad \phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right)\right]\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mc}(r)=2

Osher^[7]

\quad \phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right)\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{os}(r)=\beta

OSPRE – symétrique^[2]

\quad \phi _{op}(r)={\frac {1.5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^{2}+r+1\right)}}\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{op}(r)=1.5

SMART (n'est pas du 2e ordre TVD)^[8]

\quad \phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),4\right)\right]\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sm}(r)=4

superbee – symétrique^[5]

\quad \phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r,2\right)\right]\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sb}(r)=2

Sweby – symétrique^[9]

\quad \phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right)\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sw}(r)=\beta

UMIST – symétrique^[10]

\quad \phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),\left(0.75+0.25r\right),2\right)\right]\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{um}(r)=2

van Albada 1 – symétrique^[11]

\quad \phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}}\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va1}(r)=1

van Albada 2 – forme alternative (n'est pas du 2e ordre TVD) utilisée pour les schémas de haute résolution^[12]

\quad \phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}}\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va2}(r)=0

van Leer – symétrique^[13]

\quad \phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}}\,,\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{vl}(r)=2

Tous les limiteurs ci-dessus, indiqués comme étant symétriques, présentent la propriété de symétrie suivante :

{\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right)

Il s'agit d'une propriété souhaitable car elle garantit que les actions limitantes pour les gradients avant et arrière fonctionnent de la même manière.

Région de limitation admissible pour les schémas TVD du second ordre.

Sauf indication contraire, les fonctions limitantes ci-dessus sont du second ordre TVD. Les limiteurs TVD du second ordre satisfont au moins aux critères suivants :

$r\leq \phi (r)\leq 2r\,,\;\left(0\leq r\leq 1/2\right)$
$r\leq \phi (r)\leq 1\,,\;\left(1/2\leq r\leq 1\right)$
$\phi (1)=1$
$1\leq \phi (r)\leq r\,,\;\left(1\leq r\leq 2\right)$
$1\leq \phi (r)\leq 2\,,\;\left(r>2\right)$

La région admissible des limiteurs pour les schémas TVD du second ordre est illustrée dans le diagramme de Sweby ci-contre. Les graphiques ci-dessous présentent les fonctions de limitation superposées à la région TVD. Sur cette image les graphiques des limiteurs d'Osher et de Sweby ont été générés avec $\beta =1.5$ .