Théorème de décomposition de Hahn

Notons ${\displaystyle (P_{n})}$ une suite de parties mesurables telle que ${\displaystyle (\mu (P_{n}))}$ converge vers ${\displaystyle s_{\mu }=\sup(\mu (A);A\in {\mathcal {T}})}$.

Idée : chercher à définir ${\displaystyle P}$ comme une partie mesurable maximisant^[2],[3] ${\displaystyle \mu }$, c'est-à-dire de mesure ${\displaystyle s_{\mu }}$.

En effet, si un tel ${\displaystyle P}$ existe alors

• ${\displaystyle P}$ est positif : sinon il y aurait ${\displaystyle R\subset P}$ avec ${\displaystyle \mu (R)<0}$ d'où la contradiction ${\displaystyle \mu (P\backslash R)>\mu (P)}$.

• ${\displaystyle X\backslash P}$ est négatif : sinon il y aurait ${\displaystyle A\subset X\backslash P}$ avec ${\displaystyle \mu (A)>0}$ d'où la contradiction ${\displaystyle \mu (P\sqcup A)>\mu (P)}$.

Idée : construire une partie ${\displaystyle P}$ de mesure maximale à partir des ${\displaystyle (P_{n})}$.

Une difficulté est que contrairement au cas où ${\displaystyle \mu }$ est une mesure positive, il ne suffit pas de faire ${\displaystyle P=\bigcup P_{n}}$ (car pour une mesure signée, ${\displaystyle A\subset B}$ n'implique pas ${\displaystyle \mu (A)\leqslant \mu (B)}$). Pour calculer une mesure d'une partie construite à partir d'une suite ${\displaystyle (A_{n})}$, il y a tout de même deux formules remarquables (parfois appelées propriétés de continuité monotone) qui restent ici valables

(cc) si ${\displaystyle (A_{n})}$ est croissante, alors ${\displaystyle \lim \mu (A_{n})}$ existe et ${\displaystyle \mu (\bigcup A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$.

(cd) si ${\displaystyle (A_{n})}$ est décroissante, alors ${\displaystyle \lim \mu (A_{n})}$ existe et ${\displaystyle \mu (\bigcap A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$.

Les démonstrations de (cc) et (cd) sont les mêmes que dans le cas où ${\displaystyle \mu }$ est finie positive.

Si nous parvenons à construire une suite croissante ${\displaystyle (C_{n})}$ avec ${\displaystyle \mu (C_{n})\geqslant \mu (P_{n})}$, alors la formule (cc) donnera que ${\displaystyle \mu (\bigcup C_{n})\geqslant \lim \mu (P_{n})=s_{\mu }}$ d'où ${\displaystyle \mu (\bigcup C_{n})=s_{\mu }}$, ce qui permettra de choisir ${\displaystyle P=\bigcup C_{n}}$.

Idée : procéder itérativement depuis ${\displaystyle (P_{n})}$ en se limitant à l'ajout de sous-parties de mesures positives et au retrait de sous-parties de mesures négatives.

Pour concevoir une méthode itérative, il est possible de s'inspirer du cas où partant de deux parties ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, on cherche à en déduire ${\displaystyle A'\subset B'}$ telles que ${\displaystyle \mu (A')\geqslant \mu (A)}$ et ${\displaystyle \mu (B')\geqslant \mu (B)}$. La contrainte d'inclusion invite à raboter ${\displaystyle A}$ ou à augmenter ${\displaystyle B}$ et la contrainte de mesure invite alors à retirer une partie de mesure négative à ${\displaystyle A}$ ou à ajouter une partie de mesure positive à ${\displaystyle B}$. Suivant le découpage ${\displaystyle A=(A\cap B)\sqcup (A\backslash B)}$, nous sommes ainsi encouragés à choisir le redécoupage ${\displaystyle (A',B')={\mathcal {R}}_{0}(A,B)}$ avec

${\displaystyle {\begin{array}{l|ll}{\mathcal {R}}_{0}(A,B)=&(A,B\sqcup A\backslash B)&{\text{si }}\mu (A\backslash B)>0\\&(A\cap B,B)&{\text{si }}\mu (A\backslash B)\leqslant 0\end{array}}}$

La méthode précédente se généralise au cas où ${\displaystyle B}$ est remplacé par une suite ${\displaystyle (B_{n})}$ : autrement dit, il s'agit dans ce cas de construire ${\displaystyle A'}$ et ${\displaystyle (B'_{n})}$ tels que ${\displaystyle A'\subset B'_{n}}$, ${\displaystyle \mu (A')\geqslant \mu (A)}$ et ${\displaystyle \mu (B'_{n})\geqslant \mu (B_{n})}$ pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Pour ce faire, nous introduisons une variable auxiliaire ${\displaystyle H_{n}}$ qui a pour vocation à vérifier ${\displaystyle H_{n}\to A'}$ au sens où ${\displaystyle (H_{n})}$ sera décroissante et on posera ${\displaystyle A'=\bigcap H_{n}}$.

Initialement ${\displaystyle H_{0}=A}$.

Appliquons itérativement le redécoupage ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}}$ aux couples ${\displaystyle (H_{k},B_{k})}$ en posant ${\displaystyle (H_{k+1},B'_{k})={\mathcal {R}}_{0}(H_{k},B_{k})}$.

Un examen de ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}}$ montre que le choix de ${\displaystyle A'=\bigcap H_{n}}$ convient car pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

• ${\displaystyle H_{n}\subset B'_{n}}$ donc ${\displaystyle A'\subset B'_{n}}$

• ${\displaystyle \mu (H_{n})\geqslant \mu (H_{n-1})\geqslant \cdots \geqslant \mu (H_{0})=\mu (A)}$ et donc ${\displaystyle \mu (A')\geqslant \mu (A)}$ par (cd)

• ${\displaystyle \mu (B_{n}')\geqslant \mu (B_{n})}$

Notons ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A,(B_{n}))}$ la suite ${\displaystyle (A',(B'_{n}))}$ ainsi obtenue.

Pour construire la chaîne escomptée ${\displaystyle (C_{n})}$ depuis la suite ${\displaystyle (P_{n})}$, il suffit d'itérer ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ en partant de ${\displaystyle (P_{n})}$. Introduisons les variables auxiliaires ${\displaystyle (P_{n}^{(k)})_{n\in \mathbb {N} }}$ où sont stockés les termes à traiter à l'issue de l'itération ${\displaystyle k}$.

Initialement ${\displaystyle (C_{0},(P_{n}^{(0)})_{n\in \mathbb {N} })={\mathcal {R}}(P_{0},(P_{n+1})_{n\in \mathbb {N} })}$ et ensuite

${\displaystyle (C_{k+1},(P_{n}^{(k+1)})_{n\in \mathbb {N} })={\mathcal {R}}(P_{0}^{(k)},(P_{n+1}^{(k)})_{n\in \mathbb {N} })}$.

Un examen de ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}}$ montre que si ${\displaystyle C\subset A\cap B}$ alors ${\displaystyle C\subset A'\cap B'}$, donc le procédé ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ donne bien ici une suite ${\displaystyle (C_{n})}$ croissante et vérifiant ${\displaystyle \mu (C_{n})\geqslant \mu (P_{n})}$ pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Afin de construire une suite ${\displaystyle (C_{n})}$ telle que ${\displaystyle \mu (\cup _{k=0}^{n}C_{k})\geqslant \mu (C_{n})\geqslant \mu (P_{n})}$, nous allons redécouper chaque ${\displaystyle P_{k}}$ par rapport aux autres parties afin de retirer des sous-parties à ${\displaystyle P_{k}}$ de mesures négatives. En effet, l'approche naïve ${\displaystyle P=\bigcup P_{n}}$ ne marche pas car les sous-parties de mesures négatives présentes dans les ${\displaystyle P_{n}}$ s'accumulent. Étant donné que nous ne connaissons pas a priori ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle N}$, nous sommes contraints de chercher à retirer ces sous-parties problématiques en travaillant directement à partir de la suite ${\displaystyle (P_{n})}$. Par exemple, si ${\displaystyle A}$ est une partie mesurable quelconque, puisque nous nous attendons à ce que ${\displaystyle P_{n}}$ s'approche de ${\displaystyle P}$, le découpage ${\displaystyle A\cap P_{n}}$ devrait permettre pour ${\displaystyle n\gg 1}$ de rogner une sous-partie de mesure négative.

Idée : découper de plus en plus finement en se plaçant à l'échelle de la tribu finie ${\displaystyle \sigma _{n}}$ engendrée par ${\displaystyle (P_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}}$^[4].

La tribu finie ${\displaystyle \sigma _{n}}$ engendrée par les parties ${\displaystyle (P_{k})_{0\leqslant k\leqslant n}}$ correspond à la donnée de la plus fine partition possible ${\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I_{n}}K_{i,n}}$ en intersections de parties ${\displaystyle \{P_{k},P_{k}^{\complement };k\in [\![0,n]\!]\}}$.

Fixons ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ et introduisons des variables auxiliaires ${\displaystyle H_{k,n}}$ telles que ${\displaystyle H_{k,n}}$ sera une sous-partie de ${\displaystyle P_{k}}$ avec ${\displaystyle (H_{k,n})_{n}}$ décroissante et ${\displaystyle \mu (H_{k,n})\geqslant \mu (P_{k})}$, de sorte que l'on posera ${\displaystyle C_{k}=\bigcap _{n}H_{k,n}}$ en vertu de la formule (cd).

Initialisons ${\displaystyle H_{k,0}=P_{k}}$.

Par récurrence, définissons ${\displaystyle H_{k,n+1}}$ comme la réunion des parties ${\displaystyle \{H_{k,n}\cap K_{i,n+1};i\in I_{n+1}\}}$ de mesures positives : ${\displaystyle (H_{k,n})_{n}}$ est bien décroissante et par additivité de la mesure ${\displaystyle \mu (H_{k,n+1})\geqslant \mu (H_{k,n})\geqslant ...\geqslant \mu (P_{k})}$.

En posant ${\displaystyle C_{k}=\bigcap _{n}H_{k,n}}$, il reste à montrer que ${\displaystyle \mu (\cup _{k=0}^{n}C_{k})\geqslant \mu (C_{n})}$.

Par décroissance de ${\displaystyle (\cup _{i=0}^{k}H_{i,n})_{n}}$, observons que $${\displaystyle \mu ((\cup _{i=0}^{k}H_{i,n})\backslash (\cup _{i=0}^{k}C_{i}))=\sum _{j\geqslant n}\mu ((\cup _{i=0}^{k}H_{i,j})\backslash (\cup _{i=0}^{k}H_{i,j+1}))}$$Considérons ${\displaystyle j\geqslant n\geqslant k}$. Le signe de ${\displaystyle \mu }$ à l'échelle de la tribu finie ${\displaystyle \sigma _{j+1}}$ (à laquelle appartiennent les ${\displaystyle H_{i,j}}$ et ${\displaystyle H_{i,j+1}}$ manipulés) fait que $${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\mu (H_{i,j}\backslash H_{i,j+1})\leqslant \mu ((\cup _{i=0}^{k}H_{i,j})\backslash (\cup _{i=0}^{k}H_{i,j+1}))\leqslant 0}$$ et tous les termes sommés sont négatifs.

Nous en déduisons que ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\mu (H_{i,n}\backslash C_{i})\leqslant \mu ((\cup _{i=0}^{k}H_{i,n})\backslash (\cup _{i=0}^{k}C_{i}))\leqslant 0}$, ce qui montre que ${\displaystyle \mu (\cup _{i=0}^{k}C_{i})=\mu (\cup _{i=0}^{k}H_{i,n})+o_{n}(1)}$ puisque ${\displaystyle \mu (H_{i,n}\backslash C_{i})=o_{n}(1)}$ en vertu de (cd).

En revenant à l'échelle de ${\displaystyle \sigma _{n}}$ (avec ${\displaystyle n\geqslant k}$), nous pouvons voir que ${\displaystyle \mu (\cup _{i=0}^{k}H_{i,n})\geqslant \sup _{0\leqslant i\leqslant k}\mu (H_{i,n})}$ car les ${\displaystyle H_{i,n}}$ sont constitués de parties élémentaires disjointes de mesures positives (une sous-famille de ${\displaystyle (K_{\ell ,n})_{\ell \in I_{n}}}$).

En passant à la limite, ${\displaystyle \mu (\cup _{i=0}^{k}C_{i})\geqslant \sup _{0\leqslant i\leqslant k}\mu (C_{i})}$ et par (cc) il en résulte que${\displaystyle \mu (\cup _{i=0}^{+\infty }C_{i})=\lim _{k}\mu (\cup _{i=0}^{k}C_{i})\geqslant \sup _{i\geqslant 0}\mu (C_{i})=s_{\mu }}$

On s'attend à ce que ${\displaystyle P_{k}}$ approche ${\displaystyle P}$ au sens où ${\displaystyle \mu (P\Delta P_{k})\to 0}$ et donc ${\displaystyle P\subset \cup _{k\geqslant n}P_{k}}$ à ensemble ${\displaystyle \mu }$-nul près. L'intersection ${\displaystyle \cap _{n\geqslant 0}\cup _{k\geqslant n}P_{k}}$ permet quant à elle de retirer les sous-parties négatives des ${\displaystyle \cup _{k\geqslant n}P_{k}}$ pour ne garder que ${\displaystyle P}$.

La formule (cd) nous incite à montrer que ${\displaystyle \mu (\cup _{k\geqslant n}P_{k})\geqslant \mu (P_{n})+o_{n}(1)}$ où ${\displaystyle o_{n}(1)}$ est un terme d'erreur associé aux parties négatives parasites.

Étant donné que ${\displaystyle \mu (\cup _{k\geqslant n}P_{k})=\mu (P_{n})+\sum _{k\geqslant n}\mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})}$, nous pouvons essayer de contrôler chaque terme ${\displaystyle \mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})}$.

Le point essentiel consiste à utiliser la maximalité de ${\displaystyle s_{\mu }}$ pour montrer que

${\displaystyle -(s_{\mu }-\mu (P_{k+1}))\leqslant \mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})\leqslant s_{\mu }-\sup _{n\leqslant j\leqslant k}\mu (P_{j})}$

D'une part, ${\displaystyle \mu (P_{k+1})=\mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})+\mu (P_{k+1}\cap \cup _{i=n}^{k}P_{k+1})}$ et ${\displaystyle \mu (P_{k+1}\cap \cup _{i=n}^{k}P_{k+1})\leqslant s_{\mu }}$ donc ${\displaystyle -(s_{\mu }-\mu (P_{k+1}))\leqslant \mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})}$.

D'autre part, ${\displaystyle \mu ((P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})\sqcup P_{j})\leqslant s_{\mu }}$ pour tout ${\displaystyle j\in [\![n,k]\!]}$, d'où ${\displaystyle \mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i})\leqslant s_{\mu }-\sup _{n\leqslant j\leqslant k}\mu (P_{j})}$.

Quitte à se ramener à une sous-suite de ${\displaystyle (P_{n})}$ telle que ${\displaystyle \mu (P_{\varphi (n)})}$ converge suffisamment vite vers ${\displaystyle s_{\mu }}$, nous pouvons supposer que ${\displaystyle \sum (s_{\mu }-\mu (P_{k}))}$ est sommable. Par l'encadrement précédent, nous en déduisons que ${\displaystyle \sum _{k\geqslant n}\mu (P_{k+1}\backslash \cup _{i=n}^{k}P_{i}){\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}0}$ ce qui conclut.