Théorème de la limite simple de Baire

Une forme simplifiée courante de l'énoncé est :

Si une suite de fonctions continues de ℝ dans ℝ converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de réels.

La version générale utilise le vocabulaire suivant :

• une limite simple d'une suite de fonctions continues est appelée une fonction de classe de Baire 1 ;
• une partie est dite maigre si elle est incluse dans une union dénombrable de fermés d'intérieurs vides. Son complémentaire est dit comaigre ;
• un F_σ est une union dénombrable de fermés.

L'ensemble des points de discontinuité d'une application de ℝ dans ℝ est toujours un F_σ.

« Théorème (Baire)^[1] — Soient X et Y deux espaces métrisables, avec Y séparable, et f : X → Y une fonction de classe de Baire 1. Alors, le F_σ des points de discontinuité de f est maigre. »

La forme simplifiée est un corollaire de ce théorème car :

• dans un espace métrique complet, tout comaigre est dense (d'après le théorème de Baire) ;
• ℝ est complet et séparable.

D'après les hypothèses, f est également de classe de Borel 1, c'est-à-dire que pour tout ouvert V de Y, f⁻¹(V) est un F_σ.

Soit (V_n)_n une base dénombrable d'ouverts de Y. En un point x, la fonction f est continue si et seulement si, pour tout ouvert V_n contenant f(x), f⁻¹(V_n) est un voisinage de x, donc f est discontinue si et seulement si x appartient à l'un des f⁻¹(V_n) sans appartenir à son intérieur. Autrement dit : l'ensemble D des points de discontinuité de f est la réunion des différences f⁻¹(V_n) \ int(f⁻¹(V_n)).

Or chaque f⁻¹(V_n) est un F_σ, donc chaque f⁻¹(V_n) \ int(f⁻¹(V_n)) aussi : il est réunion d'une suite (F_n,k)_k de fermés. Puisqu'il est d'intérieur vide, ces fermés le sont également donc D, union dénombrable de fermés d'intérieurs vides, est maigre.

• Si une fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est une dérivée, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dérivable telle que ${\displaystyle g'=f}$, alors ${\displaystyle f}$ est la limite simple de la suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})}$ définie par${\displaystyle f_{n}(x)=n\left(g\left(x+{\frac {1}{n}}\right)-g(x)\right).}$On en déduit donc que toute fonction dérivée est continue sur un ensemble dense de réels.
• La fonction de Dirichlet, étant discontinue en tout point, ne peut être la limite d'une suite de fonctions continues pour la convergence simple.