Théorème de sélection approchée
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En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, les théorèmes de sélection approchée permettent d'approcher, en un certain sens, une multifonction hémicontinue à valeurs convexes par une fonction continue. Alors que pour une multifonction hémicontinue inférieurement, le théorème de sélection de Michael et celui de Browder fournissent des sélections « exactes », dans le cas d'une multifonction hémicontinue supérieurement, on doit se contenter de telles approximations. Ces théorèmes ont de nombreuses applications en théorie des jeux et en économie, via des théorèmes de point fixe comme celui de Kakutani.
Soient E un compact de ℝm et Γ une multifonction hémicontinue supérieurement de E dans ℝk, à valeurs compactes convexes non vides. On peut utiliser le théorème de Carathéodory pour prouver[1],[2] que pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que le graphe de la multifonction Γδ suivante soit inclus dans le ε-voisinage de celui de Γ :
où Co( ) désigne l'enveloppe convexe.
De plus, Γδ est hémicontinue inférieurement[2]. On peut donc lui appliquer le théorème de sélection de Michael et en déduire une fonction continue dont le graphe est, lui aussi, ε-proche de celui de Γ, ou plus simplement, utiliser le même lemme que ce théorème et en déduire une fonction continue dont le graphe est 2ε-proche de celui de Γ.
Plus généralement (en dimension quelconque et sans hypothèses de compacité) :
Théorème[3] — Soient X un espace métrique, Y un espace vectoriel normé et Γ une multifonction hémicontinue supérieurement de X dans Y, à valeurs convexes non vides. Pour tout ε > 0, il existe une application continue f : X → Y telle que pour tout point x de X, il existe un point z de X tel que d(x, z) < ε et d(f(x), Γ(z)) < ε.
