Liste de théorèmes du point fixe

En analyse, un théorème du point fixe donne des conditions suffisantes d’existence d’un point fixe pour une fonction ou une famille de fonctions. Plus précisément, étant donné un ensemble E et une famille de fonctions f définies sur E et à valeurs dans E, ces théorèmes permettent de justifier que, pour chacune des fonctions considérées, il existe un élément x de E qui vérifie^[1] ${\displaystyle f(x)=x}$. Certains de ces théorèmes fournissent même un processus itératif permettant d’approcher un tel point fixe.

Les conditions peuvent porter sur la structure de l’ensemble de définition ou sur les propriétés locales ou globales de la fonction.

Par exemple, la fonction cosinus définie de l'intervalle [–1, 1] (boule unité fermée de l'espace euclidien à une dimension) sur lui-même, est continue : elle doit donc y posséder un point fixe (qui vaut approximativement x = 0,74 et correspond à la solution de l'équation x = cos(x)).

Ces théorèmes se révèlent être des outils très utiles en mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles. Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe. Très différent, le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif : il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver, à moins d’utiliser le lemme de Sperner.