Énergie caractéristique

Un vaisseau spatial avec une énergie insuffisante pour s'échapper restera sur une orbite fermée (à moins qu'il ne s'écrase sur le corps central), avec $${\displaystyle C_{3}=-{\frac {\mu }{a}}<0}$$ où

• ${\displaystyle \mu =GM}$ est le paramètre gravitationnel standard,
• ${\displaystyle a}$ est le demi-grand axe de l'ellipse de l'orbite.

Si l'orbite est circulaire de rayon r, alors $${\displaystyle C_{3}=-{\frac {\mu }{r}}}$$

Un vaisseau spatial quittant le corps central sur une trajectoire parabolique possède exactement l'énergie nécessaire pour s'échapper, ni plus ni moins : $${\displaystyle C_{3}=0}$$

Un vaisseau spatial qui s'éloigne du corps central sur une trajectoire hyperbolique possède plus d'énergie qu'il ne lui en faut pour s'échapper : $${\displaystyle C_{3}={\frac {\mu }{|a|}}>0}$$ où

• ${\displaystyle \mu =GM}$ est le paramètre gravitationnel standard,
• ${\displaystyle a}$ est le demi-grand axe de l'hyperbole (négatif par convention).

Aussi, $${\displaystyle C_{3}=v_{\infty }^{2}}$$ où ${\displaystyle v_{\infty }}$ est la vitesse asymptotique à distance infinie. La vitesse du vaisseau spatial tend vers ${\displaystyle v_{\infty }}$ au fur et à mesure qu'il s'éloigne de l'objet central.

Selon Chauncey Uphoff, la source ultime de la notation C₃ est le manuel An Introduction to Celestial Mechanics de Forest Ray Moulton. Dans la deuxième édition (1914) de ce livre, Moulton résout le problème du mouvement de deux corps sous l'effet d'une force gravitationnelle attractive au chapitre 5. Après avoir réduit le problème au mouvement relatif des corps dans le plan, il définit la constante du mouvement c₃ par l'équation

ẋ² + ẏ² = 2k² M/r + c₃,

où M représente la masse totale des deux corps et k² est la notation de Moulton pour la constante gravitationnelle. Il définit c₁, c₂, et c₄ comme d'autres constantes du mouvement. La notation C₃ a probablement été popularisée par le rapport technique TR-32-30 du JPL (Design of Lunar and Interplanetary Ascent Trajectories, Victor C. Clarke, Jr., 15 mars 1962), qui utilisait la terminologie de Moulton ^[1].

MAVEN, une sonde spatiale à destination de Mars, a été lancé sur une trajectoire avec une énergie caractéristique de 12,2 km²/s² par rapport à la Terre. Simplifié en un problème à deux corps, cela signifierait que MAVEN s'échappe de la Terre sur une trajectoire hyperbolique, sa vitesse diminuant progressivement vers ${\displaystyle {\sqrt {12,2}}{\text{km/s}}=3,5{\text{km/s}}}$ Cependant, le champ gravitationnel du Soleil étant beaucoup plus intense que celui de la Terre, la solution à deux corps s'avère insuffisante. L'énergie caractéristique par rapport au Soleil étant négative, MAVEN, au lieu de se diriger vers l'infini, s'est placée sur une orbite elliptique autour du Soleil. Sa vitesse maximale sur cette nouvelle orbite peut être estimée à environ 33,5 km/s en supposant qu'elle atteint l'« infini » pratique à 3,5 km/s et que cette « vitesse à l'infini » par rapport à la Terre s'ajoute à la vitesse orbitale de la Terre, environ 30 km/s.

La mission InSight vers Mars a été lancée avec une C₃ de 8,19 km²/s^2[2]. La sonde solaire Parker (via Vénus) prévoit un C₃ maximal de 154 km²/s^2[3].

C₃ balistique typique, en km²/s², pour aller de la Terre à différentes planètes : Mars 8-16, Jupiter 80, Saturne ou Uranus 147. Pour aller à Pluton (avec son inclinaison orbitale), il faut environ 160-164 km²/s².