Équation de Michelson-Sivashinsky

L'équation de Michelson-Sivashinsky est une équation pseudo-différentielle, introduite par Daniel Michelson et Gregori Sivachinski^[1],[2] pour décrire la dynamique faiblement non-linéaire des flammes conduisant à l'instabilité de Darrieus-Landau. Son expression en variables adimensionnées est^[3],[4] :

${\displaystyle \varphi _{t}+{\frac {1}{2}}\varphi _{x}^{2}-\nu \varphi _{xx}+{\mathcal {I}}(\varphi _{x})=0}$

L'écoulement est vertical (axe ${\displaystyle y}$), ${\displaystyle \varphi (x)}$ représente la position du front de flamme plissé et ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi ,x)}$ est l'opérateur suivant :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {I}}(\varphi ,x)&=&{\frac {1}{2\pi }}\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{x}(x',t)\cot {\left({\frac {x-x'}{2}}\right)}dx'\\&\simeq &{\mathcal {H}}(\varphi _{x})\\&\simeq &{\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|k|e^{ik(x-x')}\varphi (x',t)dkdx'\\&\simeq &{\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|k|e^{ikx}{\hat {\varphi }}(k,t)dk\end{array}}}$

où ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ est la transformation de Hilbert et ${\displaystyle {\hat {\varphi }}(k,t)={\mathcal {F}}(\varphi (x,t))}$ la transformée de Fourier de ${\displaystyle \varphi }$.

${\displaystyle \nu >0}$ est un coefficient qui contrôle la réponse à la courbure de l'écoulement au front de flamme :

${\displaystyle 1-{\frac {u}{S_{L}}}\simeq {\mathcal {A}}^{2}\nu \,\varphi _{xx}}$

où ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est le nombre d'Atwood, supposé petit, ${\displaystyle u}$ est la vitesse de l'écoulement et ${\displaystyle S_{L}}$ la vitesse de propagation d'une flamme plane dans les mêmes conditions.

L'identité ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(e^{ikx}\right)=i\,\operatorname {sgn}(k)e^{ikx}}$ montre que, si l'on linéarise l'équation, le taux de croissance ${\displaystyle \varpi }$ d'un mode normal de perturbation ${\displaystyle \varphi \simeq e^{ikx+\varpi t}}$ est ${\displaystyle \varpi =|k|-\nu k^{2}}$. Ceci montre que la contribution première à ${\displaystyle \varphi _{t}}$ est d'ordre géométrique : la flamme se déplace localement suivant sa normale faisant l'angle ${\displaystyle \gamma \simeq -{\mathcal {A}}\varphi _{x}}$ avec l'horizontale.