Équations de Jefimenko
Solutions générales et causales des équations de Maxwell
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En électromagnétisme, les équations de Jefimenko, nommées d'après Oleg D. Jefimenko, donnent le champ électrique et le champ magnétique dus à une distribution de charges et de courants électriques dans l'espace. Elles prennent notamment en compte le retard (temps « retardé ») dû à la propagation des champs à la vitesse de la lumière, et peuvent être utilisées pour des densités de charge et de courant variables au cours du temps. Elles sont, comme les équations de Panofsky-Phillips, les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants[1],[2].
Les équations
Les champs électrique et magnétique
Les équations de Jefimenko donnent le champ E et le champ B produits par une distribution arbitraire de charges et de courants, respectivement de densité de charge ρ et de densité de courant J[3] :
![{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\iiint \left({\frac {[\rho ]\,\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {[{\dot {\rho }}]\,\mathbf {n} }{c\,r}}-{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]}{c^{2}r}}\right)\,dV'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09e465060498ef12c0caef44de67dfb0f1b86b0)
![{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]\wedge \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}+{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} }{c^{3}r}}\right)\,dV'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aada5da41afa77153ce351ad93000f75a042a1d1)
avec : , , et
![{\displaystyle [\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7e320065eceeab13ff79534df163de39c1fd6a)
![{\displaystyle [{\dot {\rho }}]={\dot {\rho }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234b580222e640cbf23c31bb98da23e540a79772)
![{\displaystyle [\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba09d7952eb07f8c4ded8a7623b5f202fe91ef33)
![{\displaystyle \left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]={\dot {\mathbf {J} }}\!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd214df9f80306732d877b7532d57ad944aef2f0)
Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot et Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique.
Les potentiels retardés comme origine
Les équations de Jefimenko peuvent être déduites[4] à partir des potentiels retardés V et A :
![{\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eff7ae22edcae618631cc86624cb2211511e238)
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b1f1540108663386ab621ce86674892b7503af)
qui sont les solutions des équations de Maxwell formulées à partir des potentiels. On peut ensuite injecter ces expressions pour V et A dans les équations suivantes :
En utilisant ces relations, on trouve l'expression générale des champs E et B directement en fonction de leurs sources, c'est-à-dire des densités de charge ρ et des densités de courant J.
Discussion
Une interprétation largement répandue des équations de Maxwell affirme que des champs électriques et magnétiques variables s'engendrent l'un l'autre dans l'espace et donnent naissance à des ondes électromagnétiques qui se propagent[5]. Néanmoins, les équations de Jefimenko suggèrent une autre explication[6]. Jefimenko disait : « […] ni les équations de Maxwell, ni leurs solutions, ne montrent l'existence de lien causal entre le champ électrique et magnétique. En conséquence, on doit conclure que le champ électromagnétique est une entité mixte qui possède toujours une composante électrique et magnétique créées simultanément par leurs sources communes, à savoir des charges et des courants électriques variables »[7].
McDonald dit[8] que les équations de Jefimenko semblent être apparues pour la première fois en 1962 dans la seconde édition du livre « Classical Electricity and Magnetism » de Panofsky et Phillips[9] (voir les équations de Panofsky-Phillips). Cependant David Griffiths clarifie cela comme ceci : « la première apparition explicite de ces équations dont j'ai connaissance est due à Oleg Jefimenko en 1966 » et il considère les équations du livre de Panofsky et Phillips comme seulement « fort proches »[10].
Les caractéristiques essentielles des équations de Jefimenko se voient dans leurs seconds membres où apparaît le temps « retardé », ce qui reflète la « causalité » de ces équations. En d'autres termes, les premiers membres des équations sont en réalité causés par les seconds membres, contrairement aux équations différentielles de Maxwell où les deux membres fonctionnent simultanément. Dans les équations de Maxwell, il n'y a aucun doute que les deux membres de chaque équation sont égaux, mais comme Jefimenko l'indique : « […] comme chacune de ces équations relie des quantités simultanées dans le temps, aucune ne peut représenter une relation causale »[11]. Une autre caractéristique des équations de Jefimenko est que l'expression de E ne dépend pas de B et vice-versa. En conséquence il est impossible que les champs E et B se créent l'un l'autre. Ce sont les densités de charge et les courants électriques qui les créent.
