2の立方根

2 の立方根は複素数の範囲に 3 つあり、そのうち 1 つは実数である。実数の立方根を

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

と書き、虚数の立方根は

${\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}$

と書き表すことができる。後二者は互いに複素共役であり、いずれも実数ではない。^[2]

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ が無理数であることは、2の平方根の場合と同様、有理根定理、背理法（無限降下法）、または素因数分解の一意性を利用して証明することができる。実際、多項式 ${\displaystyle x^{3}-2}$ は整数係数を持ち、その有理根が存在するとすれば有理根定理により候補は ${\displaystyle \pm 1,\pm 2}$ に限られるが、いずれも根ではない。したがって ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ は有理数ではない。^[3]

オンライン整数列大辞典では ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ の十進記数法における小数点以下 107 桁まで表示されている^[4]。

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=}$ 1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 …^[4]

この数の並びには無限回の循環はない。このことは、${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ が無理数であることによる^{[注釈 1]}。