Alpha–beta変換

1937年と1938年に、エディス・クラーク（英語版）は不平衡三相問題に関する修正計算手法の論文を発表し、それが特に有用であることが明らかになった。^[1]

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

エディス・クラークによって使用された、三相電流に適用される${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$変換は以下の通りだ。^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}=i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

ここで、${\displaystyle i_{abc}(t)}$は一般的な三相電流シーケンスであり、${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$は変換${\displaystyle T}$によって得られる対応する電流シーケンスである。 逆変換は以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}=i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

上記のクラーク変換は、適用される電気変数の振幅を保持する。実際に、三相対称正相電流シーケンスを考えてみよう。

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle I}$は${\displaystyle i_{a}(t),i_{b}(t),i_{c}(t)}$の実効値であり、${\displaystyle \theta (t)}$は時間とともに変化する一般的な角度である（一般性を失うことなく${\displaystyle \omega t}$に設定することも可能）。この電流シーケンスに${\displaystyle T}$を適用すると、以下の結果が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

最後の式は、平衡電流を想定しているために成り立つ。上記に示されるように、${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$基準座標系における電流の振幅は、自然座標系における振幅と同じになる。

上述の変換を用いたクラーク領域で計算される有効電力および無効電力は、標準の基準座標系で計算されるものとは一致しない。これは、${\displaystyle T}$がユニタリ行列ではないためだ。有効電力と無効電力を保持するためには、代わりに以下の変換を考慮する必要がある。

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

これはユニタリ行列であり、逆行列はその随伴行列（転置行列）と一致する。^[3] この場合、変換後の電流振幅は標準基準座標系のものとは一致せず、以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

最終的に、この場合の逆変換は以下の通りだ。

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

平衡システムでは${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$であり、したがって${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$となるため、簡略化された変換を考えることもできる。^[4][5]

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha \beta }(t)&={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {2}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

これは単に元のクラーク変換から3番目の式を除いたものであり、対応する逆変換は以下のようになる。

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}}$