対称座標法

基本的な考え方は1895年にまで遡る。この時、ガリレオ・フェラリスらが単相モータ内部の磁界を逆方向に回転する2つの成分に分割することで解析を行った。現在、正相および逆相として知られる概念は、1913年にアーンスト・アレキサンダーソンが相平衡器に関する著作で、また1912年から1915年にかけてL. G. ストクヴィスが電圧調整（英語版）の研究の中で発表した。これらの研究には零相の明確な定義が欠けていた。^[4]

1918年、チャールズ・ルゲート・フォルテスキュー（英語版）は論文^[5]を発表し、任意のN個の不平衡なフェーザ（すなわち、任意の「多相（英語版）」信号）は、Nが素数である場合、N個の平衡なフェーザの対称的なセットの和として表現できることを示した。フェーザによって表されるのは単一の周波数成分のみである。

1943年、エディス・クラーク（英語版）は教科書を出版し、フォルテスキューの元の論文よりも計算を大幅に簡略化した三相系統向けの対称座標法の使用法を示した。^[6] 三相系統において、一方のフェーザセットは研究対象の系統と同じ相回転（正相。例えばABC）を持ち、二番目のセットは逆の相回転（逆相。ACB）を持ち、三番目のセットではフェーザA、B、Cが互いに同相（零相、コモンモード信号）である。本質的にこの手法は、3つの不平衡な相を3つの独立した電源に変換するものであり、これにより非対称故障の解析がより扱いやすくなる。

単線結線図（英語版）を拡張して、発電機、変圧器、および架空送電線やケーブルを含むその他の機器の正相、逆相、零相インピーダンスを表示することで、一線地絡短絡事故のような不平衡状態の解析が大幅に簡略化される。この技術は高次の多相系統にも拡張可能である。

物理的には、三相系統において、正相電流のセットは通常の回転磁界を生じ、逆相電流のセットは逆回転の磁界を生じ、零相電流のセットは相巻線間で回転せずに振動する磁界を生じる。これらの効果はシーケンスフィルタで物理的に検出できるため、この数学的ツールは、逆相電圧や電流を故障状態の信頼できる指標として用いる保護継電器の設計の基礎となった。このような継電器は、遮断器をトリップさせたり、電気系統を保護するための他の措置を講じたりするために使用される。

この解析手法はゼネラル・エレクトリックやウェスティングハウス・エレクトリックのエンジニアによって採用・発展させられ、第二次世界大戦後には非対称故障解析の標準的な手法となった。

右上の図に示されるように、3セットの対称座標成分（正相、逆相、零相）を加算すると、図の最下部に描かれている3つの不平衡相のシステムが作成される。相間の不平衡は、ベクトルセット間の振幅の差と位相のずれによって生じる。個々のシーケンスベクトルの色（赤、青、黄色）が、3つの異なる相（例えばA、B、C）に対応していることに注目してほしい。最終的な図を得るために、各相のベクトルの和が計算される。この結果得られるベクトルが、その特定の相の実効的なフェーザ表現である。このプロセスを繰り返すことで、3相それぞれのフェーザが生成される。

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対称座標法は、三相電力系統の解析に最も一般的に使用される。ある点における三相系統の電圧や電流は、電圧または電流の「3つの成分」と呼ばれる3つのフェーザによって示すことができる。

この記事では電圧について説明するが、電流についても同様の考慮事項が適用される。完全に平衡した三相電力系統では、電圧フェーザ成分は等しい大きさを持ち、120度離れている。不平衡な系統では、電圧フェーザ成分の大きさと位相は異なる。

電圧フェーザ成分を一セットの対称座標成分に分解することは、系統の解析や不平衡の視覚化に役立つ。 3つの電圧成分がフェーザ（複素数）として表される場合、3つの相成分をベクトルの要素とする複素ベクトルを形成できる。三相電圧成分のベクトルは次のように書ける。

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}$

そして、このベクトルを3つの対称座標成分に分解すると次のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

ここで、添字の0、1、2はそれぞれ零相、正相、逆相成分（NSC）を指す。シーケンス成分は位相角のみが異なり、それらは対称的であるため、${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi }$ ラジアンまたは120°である。

フェーザベクトルに乗じると反時計回りに120度回転させるフェーザ回転演算子 ${\displaystyle \alpha }$ を定義する。

${\displaystyle \alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}}$

${\displaystyle \alpha ^{3}=1}$ であるため、 ${\displaystyle \alpha ^{-1}=\alpha ^{2}}$ であることに注目。

零相成分は大きさが等しく、互いに同相であるため、

${\displaystyle V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}}$

他のシーケンス成分は同じ大きさを持ち、それらの位相角は120°異なる。元の不平衡な電圧フェーザセットが正相（abc）の相順を持つ場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}}$

であり、これは以下を意味する。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}}$

ここで、

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

もし代わりに元の不平衡な電圧フェーザセットが逆相（acb）の相順を持つ場合、同様に以下の行列を導出できる。

${\displaystyle {\textbf {A}}_{acb}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

シーケンス成分は以下の解析方程式から導出される。

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}$

ここで、

${\displaystyle {\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

上記の2つの方程式は、非対称な3つのフェーザセットに対応する対称座標成分を導出する方法を示している。

• 第0成分は、元の3つのフェーザの和の3分の1である。
• 第1成分は、元の3つのフェーザを反時計回りに0°、120°、240°回転させたものの和の3分の1である。
• 第2成分は、元の3つのフェーザを反時計回りに0°、240°、120°回転させたものの和の3分の1である。

視覚的には、元の成分が対称（平衡）であれば、第0成分と第2成分はそれぞれ三角形を形成して和がゼロになり、第1成分は合算されて直線になる。

フェーザ ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$ は閉じた三角形を形成する（例えば、外側電圧または線間電圧）。相の同期成分（正相）と逆相成分を見つけるには、外側の三角形の任意の辺を取り、その辺を底辺として共有する2つの可能な正三角形を描く。これら2つの正三角形は、正相システムと逆相システムを表している。

もしフェーザ V が完全に正相システムであれば、底辺上にない外側の三角形の頂点は、正相システムを表す正三角形の対応する頂点と同じ位置にある。逆相成分が含まれていれば、この位置からのずれが生じる。そのずれは、逆相成分のちょうど3倍である。

同様に、正相成分は「逆相の正三角形」からのずれの3倍となる。これらの成分の方向は、関連する相に対して正しいものとなる。どの辺を選んでも全三相に対して機能するのは直感に反するように思えるが、それがこの図示の素晴らしい点である。この図はナポレオンの定理に基づくもので、古い参考文献に時折登場する図解計算テクニックと一致している。^[7]

この考え方は N 相に拡張できる。非対称な N 個のフェーザセットは、複素線形変換によって N 個の対称なフェーザセットの線形結合として表現できる。^[8] フォルテスキューの定理（対称座標法）は重ね合わせの理に基づいているため、^[9] 線形な電力系統、または非線形な電力系統の線形近似に対してのみ適用可能である。

上記の変換行列 A は DFT行列であることが見て取れ、そのため、対称座標成分は任意の多相系統に対して計算可能である。

高調波は、非線形負荷の結果として電力系統でしばしば発生する。各次数の高調波は異なるシーケンス成分に寄与する。基本波および ${\displaystyle \scriptstyle 3n+1}$ 次の高調波は正相成分に寄与する。${\displaystyle \scriptstyle 3n-1}$ 次の高調波は逆相成分に寄与する。${\displaystyle \scriptstyle 3n}$ 次（第3高調波の倍数）の高調波は零相成分に寄与する。

なお、上記のルールは、各相の相値（または歪み）が全く同じである場合にのみ適用される。また、偶数次の高調波は電力系統では一般的ではない。