F4 (数学)

ディンキン図形

F₄のディンキン図形は以下の通りである。

ワイル・コクセター群

F₄のワイル・コククター群${\displaystyle G=W(F_{4})}$は正二十四胞体の対称変換群で、1152次元の可解群である。この対称変換群への作用により、最小忠実度μ(G) = 24をもつ^[1]。群番号はID(1152,157478)である。

F₄格子

F₄格子は、4次元における体心立方格子である。これはフルヴィッツ四元数環と呼ばれる環を形成する。ノルム1の元は、原点中心の正二十四胞体の頂点をなす。

ルート系

ルート系は正二十四胞体の頂点とその双対点から成る48の頂点をもつ。2つの24胞体の辺の長さが等しい場合、これらは二面体二百八十八胞体の点を表す。

正二十四胞体点

• (±1, ±1, 0, 0)で置換した24点

双対正二十四胞体点

• (±1, 0, 0, 0)で置換した8点
• (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)で置換した16点

単純ルート系

F₄の単純ルート系は以下の行列で与えられる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$

ハッセ図は右下の通り。

多項式不変量

F₄は27の非可換な変数による以下の3つ多項式の組の自己同型群である。

${\displaystyle C_{1}=x+y+z}$

${\displaystyle C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z}}}$

${\displaystyle C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}}$

ここで${\displaystyle x,y,z}$は実数であり、${\displaystyle X,Y,Z}$は八元数である。これらは八元数エルミート行列${\displaystyle M}$を用いて、Tr(M)、Tr(M²)、Tr(M³)の組み合わせで表せる。但しMは以下の通りである。

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}}$

多項式の集合は、24次元コンパクト曲面を定義する（単位球面上の24次元等パラメトリック超曲面は3つの異なる${\displaystyle C_{2}=1}$の主曲率を持つ^[2]）。

カルタン行列

カルタン行列は以下の通りである。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{array}}\right]}$