E7 (数学)

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E₇のディンキン図形は以下の通りである。

ルート系には(1,−1,0,0,0,0,0,0)による8×7パラメータがあり、かつ(1/2,1/2,1/2,1/2,−1/2,−1/2,−1/2,−1/2)による${\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}}}$パラメータがある。

7次元部分空間は、8次元座標の成分の和が0となる部分空間がある。これらのルート系の数は126である。

単純ルート系は以下の通りである。

(0,−1,1,0,0,0,0,0)

(0,0,−1,1,0,0,0,0)

(0,0,0,−1,1,0,0,0)

(0,0,0,0,−1,1,0,0)

(0,0,0,0,0,−1,1,0)

(0,0,0,0,0,0,−1,1)

(1/2,1/2,1/2,1/2,−1/2,−1/2,−1/2,−1/2)

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-1&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\0&0&0&0&1&-1&0\\\end{bmatrix}}}$$

E₇のワイル群は2903040のオーダーをもつ。巡回群の部分群のオーダーは2である。特殊単純群のオーダーは1451520である。これはPSp₆(2)及びPSΩ₇(2)で説明できる^[1]。

カルタン行列は以下の通りである。

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&-1&0&0&2\end{matrix}}\right)}$$

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E₇にはSU(8)部分代数があり、これは8次元ルート系による。これはSU(8)ルート系の最初の群である。これはE₇のカルタン部分代数と同等である。

加えて、133次元表現はE₈にある。

実/複素リー代数/群の有限次元による表現の指標はすべてワイルの指標公式で与えられる。取り得る次元を小さい順に並べた数列がオンライン整数列大辞典の数列 A121736である。

1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840...

E₇は、56の非可換な変数による多項式の組の自己同型群である。(p, P)と(q, Q)という28次元の群に分けることができる（ここで、p と q は実数値であり、PとQは八元数によるエルミート行列である。よって、Sp(56, R)の最初の多項式不変量は以下の通りである。

$${\displaystyle C_{1}=pq-qp+Tr[PQ]-Tr[QP]}$$

2つ目の多項式不変量は以下の対称4次多項式である。

$${\displaystyle C_{2}=(pq+Tr[P\circ Q])^{2}+pTr[Q\circ {\tilde {Q}}]+qTr[P\circ {\tilde {P}}]+Tr[{\tilde {P}}\circ {\tilde {Q}}]}$$

ここで、${\textstyle {\tilde {P}}}$は${\textstyle {\tilde {P}}\equiv \det(P)P^{-1}}$であり、2項演算子${\textstyle A\circ B}$は${\textstyle A\circ B=(AB+BA)/2}$である。

別の4次式不変量は、カルタンが構築した、28個の要素を持つ2つの8次元反対称正方行列を用いる。

$${\displaystyle C_{2}=Tr[(XY)^{2}]-{\dfrac {1}{4}}Tr[XY]^{2}+{\frac {1}{96}}\epsilon _{ijklmnop}\left(X^{ij}X^{kl}X^{mn}X^{op}+Y^{ij}Y^{kl}Y^{mn}Y^{op}\right)}$$

11次元空間から次元簡略した4次元空間でのN = 8超重力理論はボソン系におけるE₇大域対称性とSU(8)ゲージ理論を許容する。フェルミ場はSU(8)の表現、ゲージ場はE₇の表現、スカラー場はその両方の表現である（重力子はその両方に関して一重項状態である）。物理状態はそれらの商群E₇/SU(8)状態である。

超弦理論において、E₇表現はゲージ群の部分群であり、不安定非超対称性をもつヘテロティック弦理論である。 これは4次元K3曲面上のヘテロティック弦理論6次元コンパクト化における連続ゲージ群E₈×E₇にも現れる。