5の平方根

• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$は代数的整数である。${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ の有理数体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上の既約多項式は x ² − 5 である。
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$の連分数表示は

${\displaystyle {\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

となる。

• 黄金比に ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ が登場する。具体的には

${\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

で表される。

• フィボナッチ数列の一般項に現れる。

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}}$

で表される。