Summarize Timeline Top Qs Fact Check 熱力学 におけるエネルギー保存の法則は、熱力学第一法則である。熱力学第一法則は次のように表現される。
d
U
=
δ
Q
−
δ
W
.
{\displaystyle dU=\delta Q-\delta W.}
ここで dU は系の内部エネルギー U の変化量、δ Q 熱量 、δ W 仕事 を表す（d は完全微分 を、δ 不完全微分 （英語版 ）
熱力学第一法則は、エネルギーがひとりでに消えたり生じたりすることはない、という経験的事実を法則化したものであり、上述の定式化では、エネルギーの変化が熱と仕事の和として与えられることで表現されている。
熱力学において第一法則は、上式を満たす状態量 （すなわち系に対する操作の方法や途中経過に依存しない量[ 15] U が存在することを主張する法則とみなされている[ 16]
古典力学 におけるエネルギー保存の法則は、力学的エネルギー 保存の法則と呼ばれる。力学的エネルギーは位置エネルギー と運動エネルギー に分類され、それらの和が一定であることをいう[ 17]
以下に一粒子系の場合についての力学的エネルギー保存の法則を述べる。
一粒子の運動について、粒子に働く力
F
(
r
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)}
ポテンシャル
V
(
r
(
t
)
)
{\displaystyle V({\boldsymbol {r}}(t))}
F
(
r
(
t
)
,
t
)
=
−
∇
V
(
r
(
t
)
)
+
f
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)=-\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {f}}(t)}
と表される場合について、ニュートン力学の運動の第2法則 、
m
d
2
r
d
t
2
(
t
)
=
F
(
r
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)}
より次の運動方程式 が得られる。
m
d
2
r
d
t
2
(
t
)
=
−
∇
V
(
r
(
t
)
)
+
f
(
t
)
.
{\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}(t)=-\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {f}}(t).}
ここで、
m
{\displaystyle m}
質量 、
r
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}}
t
{\displaystyle t}
ナブラ
∇
{\displaystyle \nabla }
V
{\displaystyle V}
∇
V
{\displaystyle \nabla V}
勾配 を意味する。
∇
V
(
r
(
t
)
)
=
(
∂
∂
x
V
(
r
(
t
)
)
,
∂
∂
y
V
(
r
(
t
)
)
,
∂
∂
z
V
(
r
(
t
)
)
)
T
.
{\displaystyle \nabla V({\boldsymbol {r}}(t))=\left({\frac {\partial }{\partial x}}V({\boldsymbol {r}}(t)),{\frac {\partial }{\partial y}}V({\boldsymbol {r}}(t)),{\frac {\partial }{\partial z}}V({\boldsymbol {r}}(t))\right)^{T}.}
このとき仕事は、
W
(
t
1
,
t
2
)
=
∫
t
1
t
2
F
(
r
(
t
)
,
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
∫
t
1
t
2
{
−
∇
V
(
r
(
t
)
)
+
f
(
t
)
}
⋅
d
r
(
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{-\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {f}}(t)\right\}\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\end{aligned}}}
と
r
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}
線積分 で表される。ここで中黒 '・' はベクトル空間 の内積 [ 注 7]
W
(
t
1
,
t
2
)
=
−
∫
t
1
t
2
∇
V
(
r
(
t
)
)
⋅
d
r
(
t
)
+
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
−
∫
t
1
t
2
{
∂
V
(
r
(
t
)
)
∂
x
d
x
(
t
)
d
t
+
∂
V
(
r
(
t
)
)
∂
y
d
y
(
t
)
d
t
+
∂
V
(
r
(
t
)
)
∂
z
d
z
(
t
)
d
t
}
d
t
+
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{{\frac {\partial V({\boldsymbol {r}}(t))}{\partial x}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\frac {\partial V({\boldsymbol {r}}(t))}{\partial y}}{\frac {dy(t)}{dt}}+{\frac {\partial V({\boldsymbol {r}}(t))}{\partial z}}{\frac {dz(t)}{dt}}\right\}dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t),\end{aligned}}}
となるので、ポテンシャルの時間についての全微分 、
d
V
d
t
(
r
(
t
)
)
=
{
d
x
(
t
)
d
t
∂
∂
x
+
d
y
(
t
)
d
t
∂
∂
y
+
d
z
(
t
)
d
t
∂
∂
z
}
V
(
r
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {dV}{dt}}({\boldsymbol {r}}(t))=\left\{{\frac {dx(t)}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {dy(t)}{dt}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {dz(t)}{dt}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}V({\boldsymbol {r}}(t))}
を用いて、
W
(
t
1
,
t
2
)
=
−
∫
t
1
t
2
d
V
(
r
(
t
)
)
d
t
d
t
+
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
−
{
V
(
r
(
t
2
)
)
−
V
(
r
(
t
1
)
)
}
+
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dV({\boldsymbol {r}}(t))}{dt}}dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=-\left\{V({\boldsymbol {r}}(t_{2}))-V({\boldsymbol {r}}(t_{1}))\right\}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\end{aligned}}}
と書ける。もし、粒子が受ける力がポテンシャルのみによる場合、
f
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)}
W
(
t
1
,
t
2
)
{\displaystyle W(t_{1},t_{2})}
−
{
V
(
r
(
t
2
)
)
−
V
(
r
(
t
1
)
)
}
{\displaystyle -\left\{V({\boldsymbol {r}}(t_{2}))-V({\boldsymbol {r}}(t_{1}))\right\}}
V
(
r
(
t
)
)
{\displaystyle V({\boldsymbol {r}}(t))}
[ 注 8]
再び仕事の定義に戻ると、粒子の運動方程式より、次のように書き換えられる。
W
(
t
1
,
t
2
)
=
∫
t
1
t
2
F
(
r
(
t
)
,
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
∫
t
1
t
2
m
d
2
d
t
2
r
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
m
∫
t
1
t
2
d
2
d
t
2
r
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
d
t
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}dt\end{aligned}}}
ここで、ベクトルの内積の微分について、
d
d
t
(
u
(
t
)
⋅
v
(
t
)
)
=
∑
α
=
x
,
y
,
z
d
d
t
(
u
α
(
t
)
v
α
(
t
)
)
=
∑
α
=
x
,
y
,
z
(
d
u
α
(
t
)
d
t
v
α
(
t
)
+
u
α
(
t
)
d
v
α
(
t
)
d
t
)
=
d
u
(
t
)
d
t
⋅
v
(
t
)
+
u
(
t
)
⋅
d
v
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {u}}(t)\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)&=\sum _{\alpha =x,y,z}{\frac {d}{dt}}\left(u_{\alpha }(t)v_{\alpha }(t)\right)\\&=\sum _{\alpha =x,y,z}\left({\frac {du_{\alpha }(t)}{dt}}v_{\alpha }(t)+u_{\alpha }(t){\frac {dv_{\alpha }(t)}{dt}}\right)\\&={\frac {d{\boldsymbol {u}}(t)}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)+{\boldsymbol {u}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {v}}(t)}{dt}}\end{aligned}}}
という公式が成り立つので、
W
(
t
1
,
t
2
)
=
m
∫
t
1
t
2
d
2
d
t
2
r
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
d
t
d
t
=
m
∫
t
1
t
2
{
d
d
t
(
d
r
(
t
)
d
t
⋅
d
r
(
t
)
d
t
)
−
d
r
(
t
)
d
t
⋅
d
2
r
(
t
)
d
t
2
}
d
t
=
1
2
m
∫
t
1
t
2
d
d
t
(
d
r
(
t
)
d
t
⋅
d
r
(
t
)
d
t
)
d
t
=
1
2
m
|
d
r
(
t
2
)
d
t
|
2
−
1
2
m
|
d
r
(
t
1
)
d
t
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}dt\\&=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\right)-{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\cdot {\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}(t)}{dt^{2}}}\right\}dt\\&={\frac {1}{2}}m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\right)dt\\&={\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{2})}{dt}}\right|^{2}-{\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{1})}{dt}}\right|^{2}\end{aligned}}}
が得られる。ここで得られた関数
1
2
m
|
d
r
(
t
)
d
t
|
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\right|^{2}}
ポテンシャルと仕事、運動エネルギーと仕事の関係をそれぞれ見比べると、
−
{
V
(
r
(
t
2
)
)
−
V
(
r
(
t
1
)
)
}
+
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
1
2
m
|
d
r
(
t
2
)
d
t
|
2
−
1
2
m
|
d
r
(
t
1
)
d
t
|
2
∫
t
1
t
2
f
(
t
)
⋅
d
r
(
t
)
=
{
1
2
m
|
d
r
(
t
2
)
d
t
|
2
+
V
(
r
(
t
2
)
)
}
−
{
1
2
m
|
d
r
(
t
1
)
d
t
|
2
+
V
(
r
(
t
1
)
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}-\left\{V({\boldsymbol {r}}(t_{2}))-V({\boldsymbol {r}}(t_{1}))\right\}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)&={\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{2})}{dt}}\right|^{2}-{\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{1})}{dt}}\right|^{2}\\\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)&=\left\{{\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{2})}{dt}}\right|^{2}+V({\boldsymbol {r}}(t_{2}))\right\}-\left\{{\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t_{1})}{dt}}\right|^{2}+V({\boldsymbol {r}}(t_{1}))\right\}\end{aligned}}}
という等式が得られる。
f
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)}
[ 注 9]
こうして得られた等式が成り立つことを、力学的エネルギー保存の法則と呼ぶ。保存則が成り立っているかどうかは系の設定により、外界の力学的エネルギーを考慮しない場合には、保存則は成り立たないが、外界の力学的エネルギーを考慮するのであれば、外界への仕事を付け加える形で、保存則が成立する。
外界に及ぼされる力は
−
f
(
t
)
{\displaystyle -{\boldsymbol {f}}(t)}
摩擦 などによる抗力 を考える場合には、粒子の速度 の関数になる。
以上のことは多粒子系の場合にも成り立つ。一粒子系の場合との変更点は、各粒子に対して力と運動方程式が与えられることと、ポテンシャルがすべての粒子の位置の関数になることである。以下にN 個の粒子がある場合について示す。
力：
F
i
(
{
r
(
t
)
}
,
t
)
=
−
∇
i
V
(
{
r
i
(
t
)
}
)
+
f
i
(
t
)
(
i
=
1
,
…
,
N
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}(\{{\boldsymbol {r}}(t)\},t)=-\nabla _{i}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})+{\boldsymbol {f}}_{i}(t)\quad (i=1,\dots ,N).}
運動方程式：
m
i
d
2
r
i
d
t
2
(
t
)
=
F
i
(
{
r
(
t
)
}
,
t
)
(
i
=
1
,
…
,
N
)
.
{\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt^{2}}}(t)={\boldsymbol {F}}_{i}(\{{\boldsymbol {r}}(t)\},t)\quad (i=1,\dots ,N).}
ナブラ
∇
i
{\displaystyle \nabla _{i}}
i
{\displaystyle i}
∇
i
V
(
{
r
i
(
t
)
}
)
=
(
∂
∂
x
i
V
(
{
r
i
(
t
)
}
)
,
∂
∂
y
i
V
(
{
r
i
(
t
)
}
)
,
∂
∂
z
i
V
(
{
r
i
(
t
)
}
)
)
T
(
i
=
1
,
…
,
N
)
.
{\displaystyle \nabla _{i}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\}),{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\}),{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})\right)^{T}\quad (i=1,\dots ,N).}
また、ポテンシャルの時間微分は、それぞれの粒子の速度と粒子が感じるポテンシャルの勾配の内積をすべて足しあわせたものになる。
d
V
d
t
(
{
r
i
(
t
)
}
)
=
∑
i
=
1
N
d
r
i
(
t
)
d
t
⋅
∇
i
V
(
{
r
i
(
t
)
}
)
.
{\displaystyle {\frac {dV}{dt}}(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}{dt}}\cdot \nabla _{i}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\}).}
系になされる仕事は、各粒子に対する仕事の和になる。
W
(
t
1
,
t
2
)
=
∑
i
=
1
N
∫
t
1
t
2
F
i
(
{
r
i
(
t
)
}
,
t
)
⋅
d
r
i
(
t
)
.
{\displaystyle W(t_{1},t_{2})=\sum _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}_{i}(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\},t)\cdot d{\boldsymbol {r}}_{i}(t).}
以上のことから、力学的エネルギー保存の法則は次のように表される。
∑
i
=
1
N
∫
t
1
t
2
f
i
(
t
)
⋅
d
r
i
(
t
)
=
{
V
(
{
r
i
(
t
2
)
}
)
+
∑
i
=
1
N
(
1
2
m
i
|
d
r
i
(
t
2
)
d
t
|
2
)
}
−
{
V
(
{
r
i
(
t
1
)
}
)
+
∑
i
=
1
N
(
1
2
m
i
|
d
r
i
(
t
1
)
d
t
|
2
)
}
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}_{i}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}_{i}(t)=\left\{V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{2})\})+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{2})}{dt}}\right|^{2}\right)\right\}-\left\{V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{1})\})+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{1})}{dt}}\right|^{2}\right)\right\}.}
一粒子の場合と異なり、各粒子の運動エネルギーの総和と系のポテンシャルの和が系の力学的エネルギーの役割を果たしている[ 注 10]
電磁気学 におけるエネルギー保存の法則は、荷電粒子 の運動エネルギーと電磁場 のエネルギーの和が保存するという形で記述される。前述の粒子系の古典力学は系の自由度 が粒子のみに存在していて、粒子間の相互作用が遠隔作用 であったから位置エネルギーという概念を導入する必要があった。電磁気学では（電磁）場 の自由度が加わり、相互作用は近接作用 のみであるから位置エネルギーを導入せずにエネルギー保存の法則を記述できる。
加速度運動する荷電粒子は電磁波 を輻射 することが知られている。このとき荷電粒子は輻射した電磁波分の運動エネルギーを失う。このような現象は粒子のみの力学ではエネルギー保存の法則が記述できないことを示す。
以下、電磁気学におけるエネルギー保存の法則の導出を述べる。
N
{\displaystyle N}
i
{\displaystyle i}
r
i
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}(t)}
m
i
{\displaystyle m_{i}}
電荷 を
q
i
{\displaystyle q_{i}}
r
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}}
電場 を
E
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)}
磁束密度 を
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)}
ローレンツ力 のみが働くとすると荷電粒子の運動方程式は次のようになる。
m
i
r
¨
i
(
t
)
=
q
i
[
E
(
r
i
(
t
)
,
t
)
+
r
˙
i
(
t
)
×
B
(
r
i
(
t
)
,
t
)
]
{\displaystyle m_{i}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t)=q_{i}[{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{i}(t),t)+{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}}_{i}(t),t)]}
ドットは時間微分を表す。電場と磁束密度は真空中のマクスウェルの方程式 を満たす。
{
∇
⋅
E
(
r
,
t
)
=
ρ
(
r
,
t
)
ε
0
∇
⋅
B
(
r
,
t
)
=
0
∇
×
E
(
r
,
t
)
=
−
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
∇
×
B
(
r
,
t
)
=
μ
0
j
(
r
,
t
)
+
μ
0
ε
0
∂
E
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\rho ({\boldsymbol {r}},t)}{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\dfrac {\partial {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}\end{cases}}}
荷電粒子の系において電荷密度
ρ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)}
電流密度
j
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)}
ρ
(
r
,
t
)
=
∑
i
=
1
N
q
i
δ
(
r
−
r
i
(
t
)
)
{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))}
j
(
r
,
t
)
=
∑
i
=
1
N
q
i
r
˙
i
(
t
)
δ
(
r
−
r
i
(
t
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))}
ここで
δ
(
⋅
)
{\displaystyle \delta (\cdot )}
ディラックのデルタ関数 である。
以上の状況で系の全荷電粒子の運動エネルギー
K
t
o
t
a
l
(
t
)
{\displaystyle K^{\mathrm {total} }(t)}
K
t
o
t
a
l
(
t
)
{\displaystyle K^{\mathrm {total} }(t)}
d
d
t
K
t
o
t
a
l
=
d
d
t
∑
i
=
1
N
1
2
m
i
r
i
˙
2
=
∑
i
=
1
N
r
˙
i
⋅
m
i
r
¨
i
=
∑
i
=
1
N
r
˙
i
⋅
q
i
[
E
(
r
i
)
+
r
˙
i
×
B
(
r
i
)
]
=
∑
i
=
1
N
q
i
r
˙
i
⋅
E
(
r
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}K^{\mathrm {total} }&={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {{\boldsymbol {r}}_{i}}}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot m_{i}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{i}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot q_{i}[{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{i})+{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}}_{i})]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{i})\end{aligned}}}
ここで和をディラックのデルタ関数を用いて荷電粒子の系全体が入る領域
V
{\displaystyle V}
d
d
t
K
t
o
t
a
l
=
∫
V
d
3
r
∑
i
=
1
N
q
i
r
˙
i
⋅
E
(
r
)
δ
(
r
−
r
i
)
=
∫
V
d
3
r
j
(
r
)
⋅
E
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}K^{\mathrm {total} }&=\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})\\&=\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\ {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})\end{aligned}}}
電流密度に上で示したマクスウェルの方程式の第四式（アンペール・マクスウェルの法則 ）を用いることで積分を電磁場のみの式にできる。
d
d
t
K
t
o
t
a
l
=
∫
V
d
3
r
[
1
μ
0
∇
×
B
−
ε
0
∂
E
∂
t
]
⋅
E
=
∫
V
d
3
r
[
−
1
μ
0
∇
⋅
(
E
×
B
)
+
1
μ
0
(
∇
×
E
)
⋅
B
−
ε
0
2
∂
E
2
∂
t
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}K^{\mathrm {total} }&=\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times {\boldsymbol {B}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right]\cdot {\boldsymbol {E}}\\&=\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\left[-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \cdot ({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}})+{\frac {1}{\mu _{0}}}(\nabla \times {\boldsymbol {E}})\cdot {\boldsymbol {B}}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}^{2}}{\partial t}}\right]\end{aligned}}}
途中、ベクトル解析 の公式
∇
⋅
(
E
×
B
)
=
(
∇
×
E
)
⋅
B
−
(
∇
×
B
)
⋅
E
{\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}})=(\nabla \times {\boldsymbol {E}})\cdot {\boldsymbol {B}}-(\nabla \times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {E}}}
ファラデーの法則 ）を用いて整理することで電磁気学におけるエネルギー保存の法則の導出が完了する。
∂
∂
t
[
K
t
o
t
a
l
+
∫
V
d
3
r
(
ε
0
2
E
2
+
1
2
μ
0
B
2
)
]
=
−
∫
V
d
3
r
∇
⋅
(
1
μ
0
E
×
B
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[K^{\mathrm {total} }+\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\left({\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}\right)\right]=-\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\ \nabla \cdot \left({\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}\right)}
電磁場のエネルギー密度
u
{\displaystyle u}
ポインティング・ベクトル
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
u
=
ε
0
2
E
2
+
1
2
μ
0
B
2
{\displaystyle u={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}}
S
=
1
μ
0
E
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}
と定義すれば、電磁気学におけるエネルギー保存の法則は次のように表せる。
∂
∂
t
[
K
t
o
t
a
l
(
t
)
+
∫
V
d
3
r
u
(
r
,
t
)
]
=
−
∫
∂
V
d
A
⋅
S
(
r
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[K^{\mathrm {total} }(t)+\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\ u({\boldsymbol {r}},t)\right]=-\int _{\partial V}d{\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {r}},t)}
右辺はガウスの発散定理 を用いて境界上の面積分に変形した。
d
A
{\displaystyle d{\boldsymbol {A}}}
左辺は荷電粒子の運動エネルギーと領域
V
{\displaystyle V}
流束密度 と考えれば右辺は領域
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
量子力学 においてもエネルギー保存の法則は厳密に成立する。量子力学において、あらゆる物理量はそれに対応するエミルート作用素 として定義される[ 注 11] 作用素 は、古典力学のハミルトニアン に対応する作用素
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
[ 注 12]
物理量
O
^
{\displaystyle {\hat {O}}}
期待値 の時間微分を計算すると、
d
d
t
⟨
ψ
|
O
^
|
ψ
⟩
=
(
∂
∂
t
|
ψ
⟩
∗
)
O
^
|
ψ
⟩
+
|
ψ
⟩
∗
∂
∂
t
O
^
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
(
−
ℏ
i
∂
∂
t
|
ψ
⟩
)
∗
O
^
|
ψ
⟩
+
|
ψ
⟩
∗
i
ℏ
ℏ
i
∂
∂
t
O
^
|
ψ
⟩
=
i
ℏ
{
(
H
^
|
ψ
⟩
)
∗
O
^
|
ψ
⟩
+
|
ψ
⟩
∗
ℏ
i
(
∂
O
^
∂
t
+
O
^
∂
∂
t
)
|
ψ
⟩
}
=
i
ℏ
{
|
ψ
⟩
∗
H
^
∗
O
^
|
ψ
⟩
+
|
ψ
⟩
∗
(
ℏ
i
∂
O
^
∂
t
−
O
^
H
^
)
|
ψ
⟩
}
=
⟨
ψ
|
(
∂
O
^
∂
t
+
i
ℏ
{
H
^
O
^
−
O
^
H
^
}
)
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right\vert {\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle &=\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left\vert \psi \right\rangle ^{*}\right){\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle +\left\vert \psi \right\rangle ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle \\&={\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left\vert \psi \right\rangle \right)^{*}{\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle +\left\vert \psi \right\rangle ^{*}{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle \\&={\frac {i}{\hbar }}\left\{\left({\hat {H}}\left\vert \psi \right\rangle \right)^{*}{\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle +\left\vert \psi \right\rangle ^{*}{\frac {\hbar }{i}}\left({\frac {\partial {\hat {O}}}{\partial t}}+{\hat {O}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\left\vert \psi \right\rangle \right\}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left\{\left\vert \psi \right\rangle ^{*}{\hat {H}}^{*}{\hat {O}}\left\vert \psi \right\rangle +\left\vert \psi \right\rangle ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {O}}}{\partial t}}-{\hat {O}}{\hat {H}}\right)\left\vert \psi \right\rangle \right\}\\&=\left\langle \psi \right\vert \left({\frac {\partial {\hat {O}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left\{{\hat {H}}{\hat {O}}-{\hat {O}}{\hat {H}}\right\}\right)\left\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}
となり、
O
^
{\displaystyle {\hat {O}}}
シュレーディンガー方程式 、
H
^
|
ψ
(
t
)
⟩
=
−
ℏ
i
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle {\hat {H}}\left\vert \psi (t)\right\rangle =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left\vert \psi (t)\right\rangle }
を用い時間微分作用素をハミルトニアンに書き換えた。またハミルトニアンが自己共役であることを用いた。
O
^
{\displaystyle {\hat {O}}}
交換子 の項はゼロになる。
[
H
^
,
O
^
]
:=
H
^
O
^
−
O
^
H
^
=
H
^
H
^
−
H
^
H
^
=
0.
{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {O}}\right]:={\hat {H}}{\hat {O}}-{\hat {O}}{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {H}}=0.}
このとき期待値の時間微分は以下のようになる。
d
d
t
⟨
ψ
|
H
^
|
ψ
⟩
=
⟨
ψ
|
∂
H
^
∂
t
|
ψ
⟩
.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right\vert {\hat {H}}\left\vert \psi \right\rangle =\left\langle \psi \right\vert {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}\left\vert \psi \right\rangle .}
外部系との相互作用がない孤立系を考えると、ハミルトニアン
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
∂
H
^
∂
t
=
0
⇒
d
d
t
⟨
ψ
|
H
^
|
ψ
⟩
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}=0~\Rightarrow ~{\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right\vert {\hat {H}}\left\vert \psi \right\rangle =0.}
時間とエネルギーの不確定性関係のために短時間ではエネルギー保存則が破れるという記述もあるが、それは摂動論における自由ハミルトニアン部分の保存則の破れにすぎず、相互作用項まで加えた全エネルギーは常に厳密に保存する（詳しくは不確定性原理 のページを参照）。
.png)
![{\displaystyle m_{i}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t)=q_{i}[{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{i}(t),t)+{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}}_{i}(t),t)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c27f593b68222827ab25e475f6a3d9c5be83e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}K^{\mathrm {total} }&={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {{\boldsymbol {r}}_{i}}}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot m_{i}{\ddot {\boldsymbol {r}}}_{i}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot q_{i}[{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{i})+{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}}_{i})]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}}_{i})\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001571a9f92e1dd6664056b7ebcc93d00519d183)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}K^{\mathrm {total} }&=\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times {\boldsymbol {B}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}\right]\cdot {\boldsymbol {E}}\\&=\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\left[-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \cdot ({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}})+{\frac {1}{\mu _{0}}}(\nabla \times {\boldsymbol {E}})\cdot {\boldsymbol {B}}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}^{2}}{\partial t}}\right]\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/062b207d8a058964d47571e8e75f032010b3b2c1)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[K^{\mathrm {total} }+\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\left({\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\boldsymbol {E}}^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}^{2}\right)\right]=-\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\ \nabla \cdot \left({\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065124ac8db2b51c30527741cca1b9336b9d8c46)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[K^{\mathrm {total} }(t)+\int _{V}d^{3}{\boldsymbol {r}}\ u({\boldsymbol {r}},t)\right]=-\int _{\partial V}d{\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {r}},t)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8285ec7b92b25f03b543e1522e433333d3f080c1)
![{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {O}}\right]:={\hat {H}}{\hat {O}}-{\hat {O}}{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {H}}=0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e25400d969eb2067fe0813ac661ece76e873ecd)
