ローレンツ力

電荷 q_i の時刻 t における位置を r_i(t)、速度を v_i(t) とすると、電荷密度 ρ、電流密度 j は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\\{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\end{aligned}}}$

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力Fは多数の粒子系に対しては

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\sum _{i}q_{i}\left({\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))+{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\right)}$

となる。ここで、電場Eと磁束密度Bを

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})\\{\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{aligned}}}$

として、和と積分を入れ替えると、

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t)=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\left(\rho (t,{\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\right)}$

このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

ローレンツ力を相対論的に記述すると

${\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}$

となる。 ここで X = (ct, r) は粒子の相対論的な位置、p = (E/c, p) は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 F は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に

${\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c),~(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})}$

と表される。

位置の微分は非相対論的な速度 v によって

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})}$

と表される。 従って、この式の空間成分は

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}$

となる。非相対論的な力 f は

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})}$

となる。

• マクスウェルの方程式
• フレミング左手の法則
• 電磁気学

表 話 編 歴 電磁気学
基本	電気 磁性
静電気学	電荷 クーロンの法則 電場 電束 ガウスの法則 電位 静電誘導 電気双極子 分極電荷
静磁気学	アンペールの法則 電流 磁場 磁化 磁束 ビオ・サバールの法則 磁気モーメント ガウスの法則
電気力学	自由空間 ローレンツ力 起電力 電磁誘導 ファラデーの法則 レンツの法則 変位電流 マクスウェルの方程式 電磁場 電磁波 リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル（英語版） マクスウェル・テンソル 渦電流
電気回路	電気伝導 電圧 キルヒホッフの法則 電気抵抗 静電容量 インダクタンス 交流 インピーダンス アドミタンス 共鳴空洞 導波管
共変定式	電磁場テンソル 4元電流密度 電磁ポテンシャル 電磁場の応力エネルギーテンソル（英語版）
人物	アンペール クーロン ファラデー ガウス オーム ヘヴィサイド ヘンリー ヘルツ キルヒホフ ローレンツ マクスウェル テスラ ボルタ ヴェーバー エルステッド
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