オイラーの四辺形定理

オイラーはもともと他の定理からこの関係を導いたが、それは簡単な考察ではない。

与えられた四角形 ${\displaystyle ABCD}$ に対して ${\displaystyle ABED}$ が平行四辺形になるような点${\displaystyle E}$ を取ると以下の式が成り立つ。

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

${\displaystyle |CE|}$ は平行四辺形を構成する点${\displaystyle E}$ と構成しない点${\displaystyle C}$ との距離である。${\displaystyle |CE|^{2}}$ は元の四角形が平行四辺形とどれだけ乖離しているかを示す値であり、平行四辺形定理（平行四辺形の辺と対角線の長さの関係を示す定理）に対する補正項である^[2]。

${\displaystyle M}$ は ${\displaystyle AC}$ の中点である。また ${\displaystyle N}$ は ${\displaystyle BD}$ の中点であり、${\displaystyle AE}$ と ${\displaystyle BD}$ が平行四辺形${\displaystyle ABED}$の対角線であることから ${\displaystyle N}$ は ${\displaystyle AE}$ の中点でもある。よって中点連結定理から ${\displaystyle CE}$ と ${\displaystyle NM}$ は平行で ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$ を満たすことがわかる。最初の式に代入するとこの定理が得られる^[2]。

この定理は凸でない四角形や4点が同一平面上にない四辺形にも拡張できる^[3]。

1. ↑ Lokenath Debnath: The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. World Scientific, 2010, ISBN 9781848165267, pp. 105–107
2. 1 2 Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, pp. 137–139
3. ↑ Geoffrey A. Kandall: Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp. 403–404 (JSTOR)

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• Weisstein, Eric W. "Quadrilateral". mathworld.wolfram.com (英語).