オノの不等式

鋭角三角形の3辺を a, b, c 、面積を S としたとき、以下の不等式が成り立つ。

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4S)^{6}.}$

この式は鈍角三角形だと成り立たないことがある。反例としては a = 3, b = 2, c = 4 のような例が挙げられる。

与式の両辺を ${\displaystyle 64(abc)^{4}}$ で割る。

${\displaystyle 27{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}}{\frac {(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}c^{2}}}{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}\leq {\frac {4S^{2}}{b^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}b^{2}}}}$

左辺に余弦定理を適用し、右辺に ${\displaystyle S={\frac {bc\sin {A}}{2}}}$ などを適用する。

${\displaystyle 27(\cos {A}\cos {B}\cos {C})^{2}\leq (\sin {A}\sin {B}\sin {C})^{2}}$

任意の三角形について成り立つ恒等式 ${\displaystyle \tan {A}+\tan {B}+\tan {C}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}}$ を利用して変形する。

${\displaystyle 27\tan {A}\tan {B}\tan {C}\leq (\tan {A}+\tan {B}+\tan {C})^{3}}$

鋭角三角形であれば各内角の正接は正なので、相加相乗平均の関係より上の式は成り立つ。