オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

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この方程式は定数変化法を用いて解くことができる。関数${\displaystyle f(r_{t},t)=r_{t}e^{\theta t}}$に対して伊藤の補題を適用し、以下の式を得る。

${\displaystyle {\begin{aligned}df(r_{t},t)&=\theta r_{t}e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dr_{t}\\&=e^{\theta t}\theta \mu \,dt+\sigma e^{\theta t}\,dW_{t}\end{aligned}}}$

これを0からtまで積分することにより、次の式が得られる。

${\displaystyle r_{t}e^{\theta t}=r_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta s}\,dW_{s}}$

これを変形し、以下のように解が求められる。

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (s-t)}\,dW_{s}}$

${\displaystyle r_{0}}$が定数であると仮定するとき、${\displaystyle r_{t}}$の1次モーメントは以下のように計算できる。

${\displaystyle E(r_{t})=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

${\displaystyle s\wedge t=\min(s,t)}$とおくと、伊藤積分の等長性 ^[1] を用いて次のような共分散関数が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (r_{s},r_{t})&=\mathrm {E} [(r_{s}-\mathrm {E} [r_{s}])(r_{t}-\mathrm {E} [r_{t}])]\\&=\mathrm {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\mathrm {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s\wedge t)}-1)\end{aligned}}}$

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、スケールを変え時間シフトをしたウィーナー過程としても表現することが可能である（そして、しばしばその方が便利である）。初期値条件の無い場合、

${\displaystyle r_{t}=\mu +{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}}$

となり、また${\displaystyle r_{0}}$が与えられた場合は以下のようになる。

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\sigma \over {\sqrt {2\theta }}}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}}$

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の例であり、ウィーナー過程とは対照的に定常確率分布を許している。

この過程の時間積分は、1/fパワースペクトルを持つノイズを生成するために用いることができる。

B をブラウン運動とすると、

${\displaystyle U_{t}=\exp(\beta t)B\left({\frac {1-e^{-2\beta t}}{2\beta }}\right)}$

はオルンシュタイン＝ウーレンベック過程である。U_tは以下の微分方程式の解である。

${\displaystyle dU_{t}=\beta U_{t}\,dt+dB_{t}}$

• G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, "On the theory of Brownian Motion", Phys. Rev. 36:823-41, 1930.
• D. T. Gillespie, "Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral", Phys. Rev. E 54:2084-91, 1996.

• 利子率に関するバシチェック・モデルは、オルンシュタイン＝ウーレンベック過程の例である。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。 正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。