ガウス過程

ガウス過程（ガウス-かてい、英: Gaussian process）は連続時間確率過程の一種である。この概念はカール・フリードリッヒ・ガウスの名にちなんでいるが、それは単に正規分布がガウス分布とも呼ばれるためであり、しかも正規分布はガウスが最初に研究したというわけでもない。いくつかの文献（たとえば下記のSimonの著書）では、確率変数 X_t の期待値が 0 であることを仮定する場合もある。

確率過程 {X_t}_t∈T は、任意に（有限個の）X_t₁, ..., X_{t_k} を選んで作った線型結合（あるいはより一般に、{X_t}_t∈T を標本関数 X_t 全体からなる連続濃度の函数空間と見たときの、任意の線型汎関数）が正規分布に従うとき、ガウス過程という。言い換えると、添字集合 T から有限個の添字 t₁, ..., t_k を選び出したとき、常に

$\mathbf {X} _{t_{1},\ldots ,t_{k}}=(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})$

が多次元正規分布に従うという性質を持つ確率過程{X_t}_t∈T はガウス過程である。また、確率分布の特性関数を用いれば次のようにも述べられる。任意の有限個の添字 t₁, ..., t_k に対して、

$\mathbb {E} \!\left(\exp \!\left(i\sum _{l=1}^{k}t_{l}X_{t_{l}}\right)\right)=\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{l,j}\sigma _{lj}t_{l}t_{j}+i\sum _{l}\mu _{l}t_{l}\right)$

を満たすような正数 σ_lj および μ_j が存在する。またこのとき、μ_j は X_{t_j} の期待値、σ_lj は X_{t_l} と X_{t_j} の共分散となることが確認できる。

主なガウス過程

ウィーナー過程は、おそらく最も広く研究されているガウス過程の一種である。ウィーナー過程は定常過程ではないが、定常増分を持つ。

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、定常なガウス過程である。

ブラウン橋は増分が独立ではないガウス過程である。

非整数ブラウン運動は、ウィーナー過程において定常増分が従う正規分布を ${\mathcal {N}}(0,|t-s|^{2H})$ へと非整数次数(2H)にまで拡張したガウス過程である。

主なガウス過程

応用

参考文献

外部リンク

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