カリーのパラドックス

カリーのパラドックスの自然言語版は次のような文である。

この文が真なら、サンタクロースは実在する。

この文が真であると仮定する。すると、その内容からサンタクロースが実在するということが結論として得られる。これは conditional derivation（条件付き演繹）と呼ばれる自然演繹技法を使った推論である。

つまり、この文が真であるなら、サンタクロースは実在する — これはその文そのものと全く同じである。従ってこの文は真であり、サンタクロースは実在しなければならない。

この文形を使えばどんな主張も「証明」される。これがパラドックスである。

証明しようとしている命題を Y とし、ここでは「サンタクロースは実在する」という命題を表すとする。次に X が真であれば Y が成り立つという文を X で表す。数学的にはこれを X = (X → Y) と記し、X が自分自身を使って定義されていることがわかる。証明は以下のようになる。

1. X → X

恒真式

2. X → (X → Y)

X = X → Y であることから、1 の右辺を置換

3. X → Y

2 に縮約規則を適用

4. X

X = X → Y であることから 3 を置換

5. Y

4 と 3 にモーダスポネンスを適用

派生として、Y が Z∧¬Z のような矛盾した形式の場合もある。この場合、X が X = (X → (Z∧¬Z)) となる。これに推論規則を適用していくと最終的に X = ¬X となり、嘘つきのパラドックスと等価である。

Summarize Timeline Fact Check

数理論理学的には自己言及文を含まなくとも、素朴集合論では次の集合 X から任意の論理式 Y を証明できる。

${\displaystyle X\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left\{x|(x\in x)\to Y\right\}.}$

証明は以下の通り。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{1.}}&(X\in X)\iff ((X\in X)\to Y)&{\mbox{definition of X}}\\{\mbox{2.}}&(X\in X)\to ((X\in X)\to Y)&{\mbox{from 1}}\\{\mbox{3.}}&(X\in X)\to Y&{\mbox{from 2, contraction}}\\{\mbox{4.}}&((X\in X)\to Y)\to (X\in X)&{\mbox{from 1}}\\{\mbox{5.}}&X\in X&{\mbox{from 3 and 4, modus ponens}}\\{\mbox{6.}}&Y&{\mbox{from 3 and 5, modus ponens}}\end{matrix}}}$

この場合も Y 自身が矛盾した論理式の派生形式がある。その場合の X は ${\displaystyle \left\{x|(x\in x)\to (Z\wedge \neg Z)\right\}}$ となり、最終的に ${\displaystyle \left\{x|(x\notin x)\right\}}$ が得られる。これは自分自身を含まない全集合の集合を表している。これはラッセルのパラドックスと等価である。