サードの定理

サードの定理（サードのていり、英: Sard's theorem）、サードの補題、モース・サードの定理は解析学の定理で、「ユークリッド空間（または多様体）から他のユークリッド空間（または多様体）への滑らかな関数 f について、f の臨界点全体の f による像は、ルベーグ測度が 0 である（つまり、零集合である）」ことを言うものである。ルベーグ測度が 0 であるというのは、そのような点が「ほとんどない」ということである。

具体的には以下の通りである（Sternberg (1964, Theorem II.3.1)、Sard (1942)）。

「関数 f : Rⁿ → R^mはC^k級で（つまり、f はk回連続微分可能で）、k は k ≧ max { n - m + 1, 1} をみたすとする。また、f の臨界点（つまり、Rⁿ上の点 x のうち、点 x における f のヤコビアンの階数が m より真に小さいような点 x）全体の集合を X とかくものとする。このとき、X の像 f ( X ) のR^m におけるルベーグ測度は、0 である。」

これは、直感的に言えば、集合 X が大きな集合であっても、その像はルベーグ測度の意味で大変小さいということである。f には、定義域 Rⁿ上の「臨界点」はたくさん存在するのかもしれないが、終域 R^m 上の「臨界値」は少数しか存在しないということである。

そして一般に、上記の内容は m 次元の第二可算な微分可能多様体 M から n 次元の第二可算な微分可能多様体 N への写像について成り立つ。ただし、C^k 級関数 f : N → M の臨界点とは、点 x における f の微分 df : TN → TM の線形変換としての階数が m より真に小さいような点 x のことである。このような点 x 全体の集合を X とするとき、サードの定理によれば、k ≧ max { n - m + 1, 1 } のとき X の f による像が M の部分集合として測度 0 であるというのである。

このことは、ユークリッド空間についてのサードの定理をもとに、多様体に可算個の局所座標空間の貼りあわせを考えることによって導かれる。なぜならば、「測度 0 の集合の可算個の和集合は測度 0 である」ことと、局所座標空間の部分集合について「測度 0 であるという性質は、微分同相によっても変わらない」ということから、それぞれの局所座標において議論すればすむからである。

サードの定理

定理の他の形

参照

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