スピンフォーム

ループ量子重力理論の第二量子化 は量子重力理論を記述する最良の定式化を与える。すなわち、一般相対性理論 の一般共変原理が成立する場の量子論である。結果として生じる経路積分はスピンフォームのすべての可能な構成についての和を表している。

スピンネットワークは2次元のグラフであり、その頂点や辺にラベルが付され、空間幾何学の側面を符号化するものである。

スピンネットワークは ファインマン図 のようなダイアグラムとして定義され、 可微分多様体の要素の間の接続の基底を作り、 それらの上に定義された ヒルベルト空間 を記述し、そして、 多様体の2つの異なる超曲面の間の振幅計算において用いられる。任意のスピンネットワークの時間発展は 対応するスピンネットの次元より1次元上の多様体上にスピンフォームを与える。 スピンフォームはquantum historyに類似している

スピンネットワークは空間の量子幾何学を記述する言語を与える。スピンフォームは時空に対して同様の役割を果たす。

時空はスピンフォームの重ね合わせとして定義でき、これはグラフの代わりに高次元の複合体が使われる一般化されたファインマン図である。トポロジーにおいてこの種の空間は2-複体と呼ばれる。スピンフォームは 頂点、辺、面のラベルが付いた、特別なタイプの2 -複体である。スピンフォームの境界はスピンネットワークであり、 多様体理論の場合と同様に、n 次元多様体の境界は (n-1) 次元多様体である。

ループ量子重力理論において、現在のスピンフォーム理論は ポンツァーノ・レッジェ・モデルの業績によって着想された。アイデアは 1997年にReisenbergerとロヴェッリによって紹介され、^[2] その後、Barrett–Craneモデルに発展した。現在使われているものの定式化は一連の画期的な論文の著者にちなみ、一般的なにEPRLと呼ばれている^[3] が、しかし、この理論はLaurent Freidel (FKモデル) やJerzy Lewandowski (KKLモデル)などの他の多くの研究からも根本的な貢献が見られる。

スピンフォーム模型の分配関数の要約は、

${\displaystyle Z:=\sum _{\Gamma }w(\Gamma )\left[\sum _{j_{f},i_{e}}\prod _{f}A_{f}(j_{f})\prod _{e}A_{e}(j_{f},i_{e})\prod _{v}A_{v}(j_{f},i_{e})\right]}$

ここで、

• 2-複体の集合 ${\displaystyle \Gamma }$はそれぞれ、面 ${\displaystyle f}$、辺 ${\displaystyle e}$ そして 頂点${\displaystyle v}$から構成される。各2-複体${\displaystyle \Gamma }$ は重み ${\displaystyle w(\Gamma )}$で関連づけられる。
• 面にラベル付けする既約表現の集合 ${\displaystyle j}$ と 辺にラベル付けする絡み合わせ演算子 ${\displaystyle i}$ 。
• 頂点の振幅 ${\displaystyle A_{v}(j_{f},i_{e})}$と辺の振幅${\displaystyle A_{e}(j_{f},i_{e})}$
• 面の振幅 ${\displaystyle A_{f}(j_{f})}$はほとんどの場合で${\displaystyle A_{f}(j_{f})=\dim(j_{f})}$となる。