タッカー円

三角形の辺またはその延長上のある点から、他の辺の平行線か逆平行線を引く。その直線と3つめの辺（またはその延長）から、次の辺の、平行線と逆平行線のうち、先とは異なる方の直線を引き、別の辺との交点を取る。この操作を延べ6回繰り返して得た点は最初に決めた点と一致する。また、6回の操作の中で得た6点は共円である（タッカーの定理^[5]）。

具体的に書けば、△ABCについて、直線AB上の点Q_cを取り、Q_cを通るACの平行線（逆平行線）とBCの交点をP_a、P_aを通るABの逆平行線（平行線）とACの交点をQ_b、Q_bを通るBCの平行線（逆平行線）とABの交点をP_c、P_aを通るACの逆平行線（平行線）とBCの交点をQ_a、Q_aを通るABの平行線（逆平行線）をP_bとすると、P_bを通るBCの逆平行線（平行線）とABはQ_cで交わり、さらに六点Q_c, P_a, Q_b, P_c, Q_a, P_bは同一円周上にある。

この円をタッカー円といい、文中の平行線と逆平行線を辺とする六角形をタッカー六角形（Tucker hexagon）という^[6][7]。タッカー六角形はルモワーヌ六角形の一般化である。

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以下では、基準三角形△ABCの類似重心をK、外心をO、 タッカー六角形をQ_cP_aQ_bP_cQ_aP_bとする。ただしQ_cP_a, Q_bP_c, Q_aP_bが各辺と逆平行である。また、Tをタッカー円の中心、LをAKとQ_bP_cの交点、MをBKとQ_cP_aの交点、NをCKとQ_aP_bの交点、 H_a, H_b, H_cをそれぞれ△ABCの各頂垂線の垂足と定義する。

• 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺の長さは等しい。つまり${\displaystyle |Q_{b}P_{c}|=|Q_{c}P_{a}|=|Q_{a}P_{b}|}$ 。
• 頂点と類似重心を結ぶ直線によって二等分される^[7]。つまり${\displaystyle |Q_{b}L|=|LP_{c}|=|Q_{c}M|=|MP_{a}|=|Q_{a}N|=|NP_{b}|}$。

• 逆平行線であるタッカー六角形の辺は、垂心三角形H_aH_bH_cの対応する辺に平行である^[8]。つまり、${\displaystyle Q_{b}P_{c}\parallel H_{b}H_{c},Q_{c}P_{A}\parallel H_{c}H_{a},Q_{a}P_{b}\parallel H_{a}H_{b}}$。

• △LNMは△ABCと${\displaystyle K}$を中心にして相似である^[7]。つまり、${\displaystyle {\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}}$。

• 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する頂点と外心を結ぶ直線と直交する^[7]。つまり${\displaystyle Q_{b}P_{c}\perp AO,Q_{c}P_{a}\perp BO,Q_{a}P_{b}\perp CO}$。

• タッカー円の中心Tはブロカール軸KO上にある。比${\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}}$は△LNMと△ABCの相似比に比例する^[7]。つまり、${\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}={\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}}$。

• タッカー円の包絡線はブロカール点を焦点とする内接楕円（英語版）、ブロカール内接楕円（ブロカール楕円）である^[8]。

• タッカー六角形が基準三角形に退化する、つまり${\displaystyle Q_{b}=P_{c}=A,Q_{c}=P_{a}=B,Q_{a}=P_{b}=C}$となるとき、外接円をタッカー円として得られる。

タッカー円を線分${\displaystyle Q_{b}P_{c}}$の符号付長さを媒介変数として表す。

${\displaystyle t={\begin{cases}\ \ \,|Q_{b}P_{c}|,&(A\notin P_{c}B)\\-|Q_{b}P_{c}|,&(A\in P_{c}B)\end{cases}}}$

タッカー円の半径は${\displaystyle t}$を用いて次の様に与えられる^[8]

${\displaystyle R(t)={\sqrt {\frac {t^{2}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-t(a^{2}+b^{2}+c^{2})abc+a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}$

代表的な値の場合を以下の表に載せた^[8]。

タッカー円	パラメタ
外接円	${\displaystyle t=0}$
第一ルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
第ニルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {2abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
第三ルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
六点円	${\displaystyle t={\frac {1}{4}}{\frac {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{abc}}}$
アポロニウス円	${\displaystyle t=-{\frac {a+b+c}{2}}}$

比${\displaystyle t={\frac {|KT|}{|KO|}}}$で記述すると、次のようになる。

半径は、ωをブロカール角として

${\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {t^{2}+(1-t)^{2}\tan ^{2}\omega }}}$

タッカー円	パラメタ
外接円	${\displaystyle t=1}$
第一ルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {1}{2}}}$
第ニルモワーヌ円	${\displaystyle t=0}$
剣持円	${\displaystyle t={\tfrac {S}{S+{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}}$（Sは面積）
ゲラトゥリ円	${\displaystyle t=\sin ^{2}\omega }$
六点円	${\displaystyle t=-\cos {\hat {A}}\cos {\hat {B}}\cos {\hat {C}}}$
アポロニウス円	${\displaystyle t={\frac {p(p^{2}-r^{2})}{abc}}}$（rは内半径、pは半周長）

ルモワーヌ点^{[註 1]}を持つ四面体（等力四面体）にも、同様にしてタッカー円の類似物、タッカー球を作ることができる。

等力四面体A₁A₂A₃A₄とルモワーヌ点を中心に相似の位置にある四面体B₁B₂B₃B₄について、平面B₂B₃B₄と直線A₁A₂,A₁A₃, A₁A₄の交点、平面B₃B₄B₁と直線A₂A₁,A₂A₃, A₂A₄の交点、平面B₄B₁B₂と直線A₃A₁,A₃A₂, A₁A₄の交点、平面B₁B₂B₃と直線A₄A₁,A₄A₂, A₄A₃の交点、延べ12点は同一球面上にある。この球をタッカー球と言う^[9]。