剣持点

三角形△ABCについて、それぞれ線分AB, BC、BC, CA、CA, AB上に頂点を持つ合同な3つの正方形であって、ある頂点を一致させられるようなものがただ1組存在する。この頂点を剣持点または第一剣持点（1st Kenmotu point）という。また、剣持点と辺上の点でない正方形の頂点から成る三角形と基準三角形は配景である。この配景の中心を第二剣持点（2nd Kenmotu point）という。

剣持点は Encyclopedia of Triangle Centers のX₃₇₁, X₃₇₂に登録されている。それぞれの三線座標は次の式で与えられる^[7]。

${\displaystyle \cos(A-{\frac {\pi }{4}}):\cos(B-{\frac {\pi }{4}}):\cos(C-{\frac {\pi }{4}})}$

${\displaystyle \cos(A+{\frac {\pi }{4}}):\cos(B+{\frac {\pi }{4}}):\cos(C+{\frac {\pi }{4}})}$

剣持点を構成する正方形の三角形の辺上にある計6点は共円である。この円を剣持円（Kenmotu Circle）という^[8]。半径は次の式で与えられる。また円の中心は第一剣持点である。

${\displaystyle R_{k}=R{\frac {\sin \,\omega }{\sin \,\omega +{\frac {\pi }{4}}}}={\frac {{\sqrt {2}}abc}{4S+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

ただしRは外接円の半径、ωはブロカール角、a, b, cは三角形の辺長、Sは面積である。

剣持円はタッカー円に属する。

• 外接円と第二ルモワーヌ円の内相似点である。
• ブロカール軸上にある。
• 外ベクタン点の等角共役点である。

• △ABCについて、それぞれAB, BC、BC, CA、CA, ABの延長辺上に頂点を持つ合同な3つの正方形のある頂点は第二剣持点で一致する^[4]。
• ブロカール軸上にある。
• 内ベクタン点の等角共役点である。
• 外接円と第二ルモワーヌ円の外相似点である。

正方形をひし形にした場合にしても同様の点が存在する。すなわち、ある点Pについて、6つの点A_B, A_C ∈ BC、 B_C, B_A ∈ CA、 C_A, C_B ∈ ABが存在し、6つの点とPの距離がすべて等しく、∠B_APC_A = ∠C_BPA_B = ∠A_CPB_Cを満たすときPを Congruent rhombi point という^[9]。