アポロニウス円と傍接円の接点が成す三角形はアポロニウス三角形（Apollonius triangle）と呼ばれる。
アポロニウス円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersではX(970)にあたる[ 2] ブロカール軸 上に位置する。九点円とアポロニウス円の内側の相似中心はシュピーカー中心 である。したがって九点円の中心、シュピーカー中心、X(970)は共線である。X(970)の三線座標 は以下の式で与えられる。
(
r
2
−
s
2
)
cos
A
+
2
r
s
sin
A
:
(
r
2
−
s
2
)
cos
B
+
2
r
s
sin
B
:
(
r
2
−
s
2
)
cos
C
+
2
r
s
sin
C
{\displaystyle (r^{2}-s^{2})\cos A+2rs\sin A:(r^{2}-s^{2})\cos B+2rs\sin B:(r^{2}-s^{2})\cos C+2rs\sin C}
内接円とアポロニウス円の内側の相似中心は、X(1682)にあたる。三線座標は以下の式で与えられる[ 7]
(
b
+
c
−
a
)
(
b
2
+
c
2
+
a
b
+
a
c
)
2
:
(
c
+
a
−
b
)
(
c
2
+
a
2
+
b
c
+
b
a
)
2
:
(
a
+
b
−
c
)
(
a
2
+
b
2
+
c
a
+
c
b
)
2
{\displaystyle {\frac {(b+c-a)}{(b^{2}+c^{2}+ab+ac)^{2}}}:{\frac {(c+a-b)}{(c^{2}+a^{2}+bc+ba)^{2}}}:{\frac {(a+b-c)}{(a^{2}+b^{2}+ca+cb)^{2}}}}
△ABC （茶）、傍心 （JA ,JB ,JC ）、傍接円と辺の接点（赤）、シュピーカー中心 （X 10 Ka ,Kb ,Kc ）、AKa ,BKb ,CKc の交点（X 3956 X 3957 3つの傍接円におけるアポロニウスの問題の解は、アポロニウス円、九点円、3辺の他に3つのジェンキンス円 （Jenkins circles）が知られている。
△ABC について、A,B,C 傍接円とBC,CA,AB との接点をD,E,F とする。また、シュピーカー中心X 10 D,E,F を通る直線と、A,B,C 傍接円の、D,E,F でない方の交点をKa ,Kb ,Kc とする。AKa ,BKb ,CKc は一点で交わる。この点を第一オデーナル点 （1st Odehnal point）という（Odehnalはオデフナルとも）。それぞれKa ,Kb ,Kc でA,B,C 傍接円に内接 し、他の2つの傍接円に外接 する円はシュピーカー中心を通る。これらの円をジェンキンス円 と言う[ 8] A,B,C を結んだ線は共点 である。この点を第二オデーナル点 （2nd Odehnal point）という。
オデーナル点はEncyclopedia of Triangle Centers においてそれぞれX 3956 , X 3957 三角形の中心 である[ 2] [ 9] [ 10] ボリス・オデーナル （Boris Odehnal）によって発見された[ 11]
Ka ,Kb ,Kc のなす三角形はJenkins-contact triangleと呼ばれる[ 12] ジェンキンス円の中心が成す三角形は1st Jenkins triangleと呼ばれる。 第一オデーナル点の性質
b
3
c
3
(
b
+
c
−
a
)
:
c
3
a
3
(
c
+
a
−
b
)
:
a
3
b
3
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle b^{3}c^{3}(b+c-a):c^{3}a^{3}(c+a-b):a^{3}b^{3}(a+b-c)}
第二オデーナル点の性質
重心 とアポロニウス円の中心と第二オデーナル点は共線である。アポロニウス三角形と類似重心 のチェバ三角形 の配景 の中心X 2092
3つの傍接円の根円（中心は根心 X 10 BC の交点をP,Q 、△PQX 10 の外心をA' とする。同様にB',C' を定義する。AA',BB',CC' は第二オデーナル点で交わる。 第ニオデーナル点X 3957
f
(
a
,
b
,
c
)
=
b
c
a
5
+
a
4
(
b
+
c
)
−
a
3
(
b
−
c
)
2
−
a
2
(
b
+
c
)
(
b
2
+
c
2
)
−
2
a
b
c
(
b
2
+
b
c
+
c
2
)
−
2
b
2
c
2
(
b
+
c
)
{\displaystyle f(a,b,c)={\frac {bc}{a^{5}+a^{4}(b+c)-a^{3}(b-c)^{2}-a^{2}(b+c)(b^{2}+c^{2})-2abc(b^{2}+bc+c^{2})-2b^{2}c^{2}(b+c)}}}
として
f
(
a
,
b
,
c
)
:
f
(
b
,
c
,
a
)
:
f
(
c
,
a
,
b
)
{\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}&\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}&:&\displaystyle {\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}&:&\displaystyle {\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}\\[4pt]=&\sin ^{2}\!A\,\cos ^{2}{\frac {B-C}{2}}&:&\sin ^{2}\!B\,\cos ^{2}{\frac {C-A}{2}}&:&\sin ^{2}\!C\,\cos ^{2}{\frac {A-B}{2}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0384d69623e818a80d0c83f3bc0128a258e210)
