ディクソン多項式

D₀(x,α) = 2 であり、n > 0 に対する（第一種）ディクソン多項式は次で与えられる。

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{n-p}}{\binom {n-p}{p}}(-\alpha )^{p}x^{n-2p}.}$

このはじめのいくつかを挙げると、次のようになる。

${\displaystyle D_{0}(x,\alpha )=2\,}$

${\displaystyle D_{1}(x,\alpha )=x\,}$

${\displaystyle D_{2}(x,\alpha )=x^{2}-2\alpha \,}$

${\displaystyle D_{3}(x,\alpha )=x^{3}-3x\alpha \,}$

${\displaystyle D_{4}(x,\alpha )=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}.\,}$

第二種ディクソン多項式 E_n は、次で定義される。

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-p}{p}}(-\alpha )^{p}x^{n-2p}.}$

この研究は多くはなされておらず、その性質は第一種ディクソン多項式と同様である。第二種ディクソン多項式のはじめのいくつかを挙げると、次のようになる。

${\displaystyle E_{0}(x,\alpha )=1\,}$

${\displaystyle E_{1}(x,\alpha )=x\,}$

${\displaystyle E_{2}(x,\alpha )=x^{2}-\alpha \,}$

${\displaystyle E_{3}(x,\alpha )=x^{3}-2x\alpha \,}$

${\displaystyle E_{4}(x,\alpha )=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}.\,}$

Summarize Timeline Fact Check

D_n は次の等式

${\displaystyle D_{n}(u+\alpha /u,\alpha )=u^{n}+(\alpha /u)^{n}\,;}$

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}(D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n})\,}$

を満たす。n≥2 に対し、ディクソン多項式は漸化式

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,}$

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,}$

を満たす。ディクソン多項式 D_n = y は次の常微分方程式の解である。

${\displaystyle (x^{2}-4\alpha )y''+xy'-n^{2}y=0.\,}$

また、第二種ディクソン多項式 E_n = y は次の微分方程式の解である。

${\displaystyle (x^{2}-4\alpha )y''+3xy'-n(n+2)y=0.\,}$

それらの通常型母関数は、次で与えられる。

${\displaystyle \sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,}$

${\displaystyle \sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}.\,}$