ディニの判定法

${\displaystyle f}$ を ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ 上の関数とし、${\displaystyle t}$ をある点、${\displaystyle \delta }$ を正の数とする。点 ${\displaystyle t}$ における局所連続率（local modulus of continuity）を以下のように定義する。

$${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}$$

ここで、${\displaystyle f}$ は周期関数として考える。例えば、${\displaystyle t=0}$ で ${\displaystyle \varepsilon }$ が負の場合、${\displaystyle f(\varepsilon )=f(2\pi +\varepsilon )}$ と定義される。

大域的な連続率（または単に連続率）は、以下のように定義される。

$${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}$$

これらの定義を用いると、主要な結果は次のように述べられる。

例えば、この定理は ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-2}(1/\delta )}$ のときには成立するが、${\displaystyle \log ^{-1}(1/\delta )}$ のときには成立しない。

特に、ヘルダー条件を満たす任意の関数は、ディニ＝リプシッツの判定法を満たす。