ナプキンリング問題

直円柱の軸が半径Rの球の中心を通り、hが球の内側にある円柱部分の高さ（軸に平行な方向な距離として定義される）を表すと仮定する。「バンド」は円柱の外側にある球の部分である。バンドの体積はhに依存するが、Rに依存しない。

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$

球の半径Rを小さくすると、hを一定に保つためには円柱の直径も小さくなる必要がある。すると、バンドが太くなり体積が増える。しかし、円周も短くなり体積が減る。この2つの効果が互いに相殺しあう。極端な例で可能な限り小さい球の場合、円柱は消え（半径は0になる）、高さhは球の直径に等しくなる。この場合、バンドの体積は球の体積であり、上記の式と一致する。

この問題に関する初期の研究は和算家の関孝和により行われた。Smith & Mikami (1914)によると、関はこの立体を「弧環」と呼んだ^[1] 。

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球の半径を${\displaystyle R}$とし、円柱（トンネル）の高さを${\displaystyle h}$とする。

ピタゴラスの定理より、円柱の半径は

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}$

となる。「赤道」より上の高さyでの球の水平断面の半径は

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$

である。高さyの平面を持つバンドの断面は、(2)で与えられる半径の大きい円の内側と(1)で与えられる半径の小さい円の外側の領域である。よって、断面積は大きい円の面積から小さい円の面積を引いたものとなる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{larger radius}})^{2}-\pi ({\text{smaller radius}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$

半径Rは最後の結果には出てこない。よってy ≤ h/2 ≤ Rである限り高さyにおける水平断面積はRによらない。バンドの体積は

${\displaystyle \int _{-h/2}^{h/2}({\text{area of cross-section at height }}y)\,dy,}$

であり、これもRによらない。

これはカヴァリエリの原理の適用したものである。実際、断面積は体積が

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$

となる半径h/2の球の断面積と等しい。