ハーディゼータ関数

ハーディゼータ関数はリーマンゼータ関数と リーマン・ジーゲルのシータ関数 を用いて次のようにあらわせる^[1][2]。

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

${\displaystyle Z(t)}$の零点は${\displaystyle \zeta ({\frac {1}{2}}+it)}$の非自明零点と一致している。また、${\displaystyle Z(t)}$は実関数であり^[1][2]、臨界域において正則である^[要出典]。

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臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、リーマン・ジーゲルの公式によって

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}$

とあらわせる^[1][2][3][4]。

ここで誤差項${\displaystyle R(t)}$は、

${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}$, ${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$ , ${\displaystyle p=u^{2}-N}$ として

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$とあらわせる。

ただし

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

である^[4]。

他の効率的な${\displaystyle Z(t)}$の級数も存在する。特に不完全ガンマ関数を使用する級数が知られている。

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\,du}$

特に良い例は

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}$

などである^[要出典]。