バナッハ関数空間

(${\displaystyle \infty }$の値を許す)ノルム空間${\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})}$に対し、写像${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$が測度空間${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$上の関数ノルムであるとは、次の条件を全て満たすことである。

1. ${\displaystyle X\subset L^{0}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$
2. Ideal property：全ての${\displaystyle f\in L^{0}(\Omega ,\Sigma ,\mu ),g\in X}$に対し、${\displaystyle 0\leqslant f\leqslant g}$ a.e.ならば${\displaystyle f\in X,\|f\|_{X}\leqslant \|g\|_{X}}$
3. Fatou property：全ての${\displaystyle f\in L^{0}(\Omega ,\Sigma ,\mu ),f_{1},f_{2},\cdots \in X}$に対し、${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{X}<\infty ,0\leqslant f_{n}\uparrow f}$ a.e.ならば${\displaystyle f\in X,\|f\|_{X}=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{X}}$
4. 全ての${\displaystyle E\in \Sigma }$に対し、${\displaystyle \mu (E)<\infty }$ならば${\displaystyle 1_{E}\in X}$
5. 全ての${\displaystyle f\in X,E\in \Sigma }$に対し、ある実数${\displaystyle C_{E}}$が存在し、${\displaystyle \mu (E)<\infty }$ならば${\displaystyle \int _{E}fd\mu \leqslant C_{E}\|f\|_{X}}$

ただし、${\displaystyle L^{0}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$は${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$-可測関数の全体の集合、${\displaystyle 1_{E}}$は集合${\displaystyle E}$の指示関数を表すとする。 全ての${\displaystyle f\in X}$に対して${\displaystyle \|f\|_{X}<\infty }$であるとき、${\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})}$は測度空間${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$上のバナッハ関数空間と呼ばれる。

さらに、${\displaystyle g\in L(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$に対し、${\displaystyle \|g\|_{X'}=\sup _{f\in X,\|f\|_{X}\leqslant 1}\int _{\Omega }fgd\mu }$で定めたとき、写像${\displaystyle \|\cdot \|_{X'}}$を${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$のassociateノルムという。${\displaystyle (X',\|\cdot \|_{X'})}$自身がバナッハ関数空間となるとき、associate空間と呼ぶことにする。

測度空間${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$上の関数ノルム${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$に対して、次のような性質が言える。

• ${\displaystyle \mu }$-単関数は${\displaystyle X}$に属する。
• Fatouの補題が成り立つ。
• associateノルム${\displaystyle \|\cdot \|_{X'}}$は関数ノルムである。
• Hölderの不等式が成り立つ。${\displaystyle \int _{\Omega }|fg|d\mu \leqslant \|f\|_{X}\|g\|_{X'}}$

測度空間${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$上のバナッハ関数空間${\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})}$に対して、次のような性質が言える。

• 全ての${\displaystyle f_{1},f_{2},\cdots \in X}$に対し、${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{X}<\infty }$ならばある${\displaystyle f\in X}$が存在し${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\sum _{j=1}^{n}f_{n}-f\right\|_{X}=0,\|f\|_{X}\leqslant \sum _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{X}}$。従って、${\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})}$は完備である。
• ノルム収束するならば、ほとんど至る所で各点収束する。
• ルベーグ測度において、${\displaystyle g\in X'\Leftrightarrow \int _{\mathbb {R} }|fg|d\mu <\infty (f\in X)}$
• ルベーグ測度において、二重associate空間${\displaystyle (X'',\|\cdot \|_{X''})}$は${\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})}$に等しく、互いの関数ノルムの値も一致する。

• Colin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics Book 129, 1988.