ローレンツ空間

測度空間 ${\displaystyle (X,\mu )}$ 上のローレンツ空間は、次の準ノルムが有限であるような X 上の複素数値可測函数 ${\displaystyle f}$ の空間である：

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}.}$

ここで ${\displaystyle 0<p<\infty }$ および ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$ である。したがって、${\displaystyle q<\infty }$ のとき、

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}$

であり、${\displaystyle q=\infty }$ のときは

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right)}$

となる。また慣習的に ${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$ とすることとなっている。

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ローレンツ空間の準ノルムは、その定義により、函数 ${\displaystyle f}$ の値の再配分（rearranging）の下で不変である。特に、ある測度空間 ${\displaystyle (X,\mu )}$ 上で定義される複素数値可測函数 ${\displaystyle f}$ が与えられたとき、その減少再配分（decreasing rearrangement）函数 ${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$ は次で定義される：

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}.}$

但し ${\displaystyle d_{f}}$ は、次のような ${\displaystyle f}$ のいわゆる分布函数（distribution function）である：

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}$

ここで記号の都合上、${\displaystyle \inf \varnothing }$ は ${\displaystyle \infty }$ と定義する。

二つの函数 ${\displaystyle |f|}$ と ${\displaystyle f^{\ast }}$ が同程度可測（equimeasurable）であるとは、次が成り立つことをいう。

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0.}$

ここで ${\displaystyle \lambda }$ は実数直線上のルベーグ測度である。関連する対称減少再配分函数は、${\displaystyle f}$ と同程度可測であり、実数直線上で次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

これらの定義の下で、${\displaystyle 0<p<\infty }$ および ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$ に対し、ローレンツ準ノルムは次で与えられる。

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

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ローレンツ空間は、カヴァリエリの原理より任意の ${\displaystyle p}$ に対して ${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$ が成立する意味で、${\displaystyle L^{p}}$ 空間の真の一般化である。さらに ${\displaystyle L^{p,\infty }}$ は弱 ${\displaystyle L^{p}}$ 空間と一致する。それらは準バナッハ空間（すなわち、完備な準ノルム空間）であり、${\displaystyle 1<p<\infty }$ および ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ に対してノルム付け可能（normable）である。${\displaystyle p=1}$ のとき、${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$ はノルムを備えるが、弱 ${\displaystyle L^{1}}$ 空間である ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ の準ノルムと同値なノルムを定義することは不可能である。${\displaystyle L^{1,\infty }}$ において三角不等式が成立しない具体例として、次を考える。

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x).}$

これらの ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ 準ノルムの値は 1 であるが、それらの和 ${\displaystyle f+g}$ の準ノルムの値は 4 である。

空間 ${\displaystyle L^{p,q}}$ は、${\displaystyle q<r}$ ならばいつでも ${\displaystyle L^{p,r}}$ に含まれる。ローレンツ空間は、${\displaystyle L^{1}}$ と ${\displaystyle L^{\infty }}$ の間の実補間空間（英語版）である。

• 補間空間（英語版）
• ハーディ＝リトルウッドの不等式