パリー点

△ABCについてその重心と二つの等力点を通る円をパリー円と言う。パリー円は重心座標(x, y, z)で以下の式で表される^[2]。

$${\displaystyle 3(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})(a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy)+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2})x\right)=0}$$パリー円の中心は Encyclopedia of Triangle Centers でX₃₅₁に登録されている。X₃₅₁は三線座標で以下の様に表される。

$${\displaystyle a(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2}):b(c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-2b^{2}):c(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-2c^{2})}$$

△ABCのパリー円は外接円と2点で交わる。うち一つはキーペルト放物線の焦点である^[2]。もう一つを△ABCのパリー点という。

パリー点の三線座標は以下の様に表される。

$${\displaystyle {\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{2b^{2}-c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}}}$$ キーペルト放物線の焦点X₁₁₀の三線座標は以下の様に表される。

$${\displaystyle {\frac {a}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}-b^{2}}}}$$