ヒルベルト行列
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![{\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567c159e3087bad824ec8b1ef9142a708136fd93)
ヒルベルト行列の初出はダフィット・ヒルベルトの論文集[1]に収められた論文 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"[2]である。 この論文は近似理論における以下の問題を扱っていた：
区間 が与えられたとき、任意の小さな正数εに対し、"整数"係数の非零な多項式 を適当に選んで、積分
をεより小さくできるだろうか？
![{\displaystyle I=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6214bb3ce7f00e496c0706edd1464ac60b73b5)
ヒルベルトは、ヒルベルト行列の行列式の漸近形を使って区間の長さ が4未満ならばこれが可能であることを示した。
ヒルベルトは 次のヒルベルト行列 の行列式を閉じた式で求めた：
ここで は次のように書ける：
ヒルベルトは次のような興味深い事実を指摘している。すなわちヒルベルト行列の行列式の逆数は整数であり、その整数はルジャンドル多項式に関連するある種の超幾何多項式の判別式として書ける。これは次の恒等式からも分かる：
![{\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62188919f02b746d7c61ed6e15e56f2d6dd5f05e)
に対してオイラー＝マクローリンの総和公式を適用することで、ヒルベルトは次の漸近形を得た：
ここで誤差項 は である。より正確な漸近形は階乗に対するスターリングの公式を使って
として得られる。ここで は のとき定数 に収束する。
