フィッティング・イデアル

可換環 R 上の有限生成加群 M が元 m₁, ... , m_n によって生成され、その関係式が

${\displaystyle a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{for }}j=1,2,\dots )\,}$

であったとする。このとき、M の i 次フィッティング・イデアル Fitt_i(M) とは、行列 a_jk の n − i 次小行列式（部分行列の行列式）で生成されるイデアルのことをいう^[2][3]。フィッティング・イデアルは M の生成元と関係式の取り方によらない^[4]。

ゼロではない最初のフィッティング・イデアル Fitt_i(M) をフィッティング・イデアル I(M) と定義する人もいる。

フィッティング・イデアルは増大する^[5]:

Fitt₀(M) ⊆ Fitt₁(M) ⊆ Fitt₂(M) ...

M が n 個の元で生成できるなら Fitt_n(M) = R が成り立ち、R が局所環なら逆も成り立つ。M の零化イデアルを Ann(M) とすると Fitt₀(M) ⊆ Ann(M) が成り立つ^[6]。また Ann(M) Fitt_i(M) ⊆ Fitt_i−1(M) が成り立つ。 特に、M が n 個の元で生成できるなら Ann(M)ⁿ ⊆ Fitt₀(M) が成り立つ。

M が階数 n の自由加群なら、 フィッティング・イデアル Fitt_i(M) は i < n に対してゼロであり、 i ≥ n に対して R である^[7]。

M を位数 |M| の有限アーベル群とする。これを整数環上の加群とみたとき、そのフィッティング・イデアル Fitt₀(M) はイデアル (|M|) である。

結び目のアレクサンダー多項式は、結び目補空間の無限次アーベル被覆の1次ホモロジーのフィッティング・イデアルの生成元である。

スキームの射のスキーム論的像の定義に0次フィッティング・イデアルを使うこともできる。この方法だと族に対しての振る舞いがよい。スキームの射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ のフィッティング像（Fitting image）とは、イデアル層 ${\displaystyle Fitt_{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})}$ に随伴する閉部分スキームとして定義される。ここで、${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ を標準射 ${\displaystyle f^{\#}}$ によって ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ 加群と見ている。^{[要検証 – ノート]}

1929年、フィリップ・フルトヴェングラーは類体論の主イデアル定理（英語版）を証明した。彼の証明は群論的計算を延々と続けるという、難解なものであった。彌永昌吉は彼の証明を改善する過程で位数イデアル（Ordnungsideal）の概念を導入した。これがハンス・フィッティングによって行列式イデアル（Determinantenideal）として取り上げられ、拡張され、フィッティング・イデアルと呼ばれるものになった^[8]。その後、バリー・メイザーとアンドリュー・ワイルズによって岩澤主予想の証明に活用された^[9]。