有限アーベル群

1824年にノルウェーの数学者ニールス・アーベルは、自費でわずか6頁の五次の一般方程式の代数的な解法の不可能性に関する研究を著した^[1]。これはある置換の集合の可換性が重要なることを明らかにするものであった。こんにち可換群にアーベルの名を関するのはこの発見に依拠するのである。

エヴァリスト・ガロワも同じ問題に取り組み、1831年に初めて「形式群」(groupe formel) の語を用いた^[2]。この論文は後にジョゼフ・リウヴィルによって出版されている。19世紀後半、有限群の研究が本質的に表れて初めてガロワ理論が構築されていくことになる。

形式群の概念の形成には多くの年月が必要とされたにもかかわらず、クロネッカーはその公理化における一人の役者である。1870年にはこんにち用いられるのと同値な有限アーベル群の定義が与えられている^[3]。一般の定義はハインリッヒ・ヴェーバー（英語版）による^[4]。

1853年にレオポルト・クロネッカーは有理数体の有限拡大で可換なガロワ群を持つものは円分拡大の部分体であることを述べた^[5]。こんにちクロネッカー–ヴェーバーの定理と呼ばれるこの定理の、クロネッカーによる証明は誤っており、リヒャルト・デデキント、ハインリッヒ・ヴェーバー^[6]が厳密な証明を与えた。この流れにおいてクロネッカーは、1870年の論文において（こんにちではクロネッカーの名を関する）有限アーベル群の構造定理（単因子分解）を証明した一人に数えられる。

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• 任意の巡回群はアーベル群である。
• 有限アーベル群の任意の部分群はまた有限アーベル群である。
• 有限アーベル群の任意の剰余群はまた有限アーベル群である。
• 有限アーベル群からなる任意の有限族の直積群はまた有限アーベル群である。

有限アーベル群の構造は、以下の定理によって完全に分類される。この定理は、任意の有限アーベル群が巡回群の直積として（同型を除いて）一意的に分解できることを示す。この分解には主に二つの形式があり、両者は中国の剰余定理によって互いに関連付けられる。

以下、G は有限アーベル群とする。

1. 単因子分解 （クロネッカーによる形式）

   整数 > 1 からなる数列 (a₁, a₂, …, a_k) が一意に存在して群同型 ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} /a_{1}\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /a_{2}\mathbb {Z} )\times \dots \times (\mathbb {Z} /a_{k}\mathbb {Z} )}$ かつ ${\displaystyle a_{i+1}\mid a_{i}(1\leq \forall i<k)}$ を満たす。

   この列を G の不変系といい、その各元を単因子（不変因子）という。

2. 準素分解 （フロベニウス、スティッケルバーガーらによる形式）

   まず、G は、その位数を割り切るすべての素数 p に関するシロー p-部分群 G_p（G の元で位数が p の冪であるもの全体）の直積に（内部直積として）一意的に分解される。

   ${\displaystyle G\cong \prod _{p||G|}G_{p}}$

   （この G_p を G の p-準素成分と呼ぶ。この準素分解自体は、一般の有限冪零群においても成り立つ性質である。）

   次に、各 p-準素成分 G_p は、位数 p の冪である巡回群の直積に（同型を除いて）一意的に分解される。

   ${\displaystyle G_{p}\cong (\mathbb {Z} /p^{e_{1}}\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /p^{e_{2}}\mathbb {Z} )\times \dots \times (\mathbb {Z} /p^{e_{r}}\mathbb {Z} )}$

   （通常 ${\displaystyle e_{1}\geq e_{2}\geq \dots \geq e_{r}\geq 1}$ のように順序付ける）

   この分解における位数の組 ${\displaystyle p^{e_{1}},p^{e_{2}},\dots ,p^{e_{r}}}$ を G の素因子 (elementary divisors) といい、すべての p にわたる素因子のリストは G により（順序を除き）一意に定まる。

構造定理（特に分解の一意性）から、以下の重要な性質が導かれる。

• G, H, K が有限アーベル群で、二つの直積群 G × H と G × K が互いに同型ならば、H と K も同型である^{[注釈 1]}
• G の位数の任意の約数 d に対し、G は少なくとも一つ位数 d の部分群を含む^{[注釈 2]}
• 任意の整数 n > 0 に対し、位数 n のアーベル群の（同型を除いた）個数^[7]は p(k₁)⋯p(k_r) に等しい。ただし、p k₁
  1 ⋯p k_r
  r  は n の素因数分解であり、p(k) は整数 k に対する分割数である^[8]。

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有限アーベル群は特筆すべき群指標を持ち、その指標群は自身に同型である。ゆえに、そのような群上の調和解析は単純で確立されていて、フーリエ変換や畳み込みを定義することができる。よく知られた結果として、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理やポワソン和公式などが挙げられる。

代数的整数論で広く用いられる構造として、整数の合同類環 Z/pZ と特にその単数群 (Z/pZ)^× がある。このアプローチは合同算術の基礎になっている。p が素数ならば、この単数群は位数 p − 1 の巡回群であり、素数以外の場合でも有限アーベルであることは変わりない。

この構造は、フェルマーの小定理（や、その一般化であるオイラーの定理）のようなディオファントス方程式を解くのに利用できる。フェルマーの二平方定理のデデキントによる証明でも用いられた。

有限アーベル群上の調和解析もまた数論に多くの応用を持つ。それらはガウスやルジャンドルらのような数学者が示した結果の現代的定式化に相当する。ルジャンドル記号はこんにちでは巡回群（したがって有限かつアーベル）の {−1, 1} に値をとる指標と考えられる。ガウス和やガウス周期（フランス語版）もそれらを計算可能にする有限アーベル群の指標を用いて表すことができる。そのような方法は平方剰余の相互法則の証明の基本である。

ディリクレはガウスとルジャンドルの予想「既約合同類群 (Z/pZ)^× の各類は無限個の素数を含む」に着目した。オイラーはオイラー積に対応させる一つのよい方法を考案したが、素数はすべて一つの類に属するものと考えられた。ディリクレは調和解析を用いて、こんにち算術級数定理と呼ばれるこの定理を証明し、ディリクレによる成果は解析数論の礎となった。

有限アーベル群はガロワ理論において特別な役割を持つ。アーベル–ルフィニの定理の帰結として、可換なガロワ群を持つ多項式は冪根によって解ける（逆はやや複雑で、ガロワ群が可解群となるのにアーベルであることは必要でない）。そのような多項式の分解体はアーベル拡大、つまり拡大のガロワ群がアーベルである。この結果は、アーベル拡大とそのガロワ群に注目するものである。これは19世紀の数学者たちがクロネッカー–ヴェーバーの定理の証明に熱心であった理由である。

ガロワやクロネッカーとヴェーバーの発見よりもずっと以前に、ガウスは特定の場合「正17角形の定木とコンパスを用いた作図を求めるための、指数17の円分方程式」を扱ったが、この多項式のガロワ群がアーベルであることはこの方法の本質的な要素であった。

任意の有限体 K に対し、その加法群 (K, +) は、（体の標数を p、位数を ${\displaystyle p^{n}}$ とすると）位数 p の巡回群 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ の n 個の直積であり（このような群を基本アーベル p-群という）、乗法群 (K, ⋅) は巡回群である。

20世紀には、情報理論の起こりとともに有限アーベル群は特に重要となった。暗号理論と誤り訂正符号の両方に用いられる。

暗号理論において、多くのアルゴリズムの基礎として（${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ のような乗法群や、楕円曲線上の群といった）巡回群が用いられる。合同算術により、例えばフェルマーの判定法（フランス語版）やミラー–ラビンの判定法のような素数判定が可能となる。有限アーベル群の利用はそれだけにとどまらない。一つの本質的な構造として有限ベクトル空間すなわち有限体上の有限次元ベクトル空間（フランス語版）は、有限アーベル群に対応するものであり、これによりある種の調和解析（フランス語版）が定義できるようになる。係数体が二元からなるとき、その上のベクトル空間で定義される複素数値函数はブール函数であり、フーリエ変換はウォルシュ変換（フランス語版）になる。暗号理論は、例えば置換テーブルの研究などに対して、ブール函数およびウォルシュ変換を広汎に用いさせる。

誤り訂正符号の理論、特に線型符号もまた例外ではない。これらは本質的に有限体（その加法群は有限アーベル群である）上のベクトル空間を扱うものであり、例えばマクウィリアムの恒等式（フランス語版）を通じた双対符号の解析に関し、任意の有限ベクトル空間上の調和解析が用いられる。コンパクトディスクに用いられるリード・ソロモン型の符号は、（有限アーベル群の乗法に基づく構造である）256元体上のベクトル空間を利用する。