フリーデル振動

金属や半導体の中を移動する電子は、平面波のような波動関数を持つフェルミ気体の自由電子のように振る舞う。つまり、

${\displaystyle \psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}\exp(i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}})}$.

金属中の電子は、電子はフェルミオンでありフェルミ・ディラック統計に従うため、通常の気体中の粒子とは異なる振る舞いをする。この振る舞いは、気体中の全てのk状態が反対のスピンを持つ2つの電子によってのみ占有されることを意味する。占有状態は一定のエネルギー準位、いわゆるフェルミエネルギーまでバンド構造 k 空間の球を満たす。k空間の球の半径k_Fは、フェルミ波動ベクトルと呼ばれている。

金属や半導体に外来原子、いわゆる不純物が埋め込まれている場合、固体中を自由に移動する電子は不純物の偏向電位により散乱される。散乱の過程で、電子波動関数の初期状態の波動ベクトルk_iは、最終状態の波動ベクトルk_fに散乱される。電子気体はフェルミ気体であるため、フェルミ準位に近いエネルギーを持つ電子のみが散乱過程に関わるが、これは散乱状態に跳ぶための空の最終状態が必要であるからである。フェルミエネルギー E_Fよりもずっと低いエネルギーを持つ電子は、非占有状態に跳ぶことができない。散乱されるフェルミ準位周辺の状態は、k値や波長の限られた範囲を占有する。そのため、フェルミエネルギー付近の限られた波長の範囲内の電子だけが散乱され、結果として不純物の周りでは

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\rho _{0}+\delta n{\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )}{|\mathbf {r} |^{3}}}}$.

のような密度変調が生じる。