ヘルダー平均

p を0でない実数とする。正の実数 x₁, ... , x_n に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される^[2]：

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}$

p = 0 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n}):={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}$

さらに、重み w_i （正の数のセット。ただし${\displaystyle \sum w_{i}=1}$）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}$

重みを考えない平均は、すべての重みを w_i = 1/n としたものに相当する。

いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている^[3]。

最小値

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

調和平均

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

幾何平均

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}$

算術平均

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

二乗平均平方根

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$

立方平均

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$

最大値

${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$の証明 (幾何平均)

指数関数を使ってMp の定義式を書き変える。 ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$ p → 0 の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ p で微分することで $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}$$ を得る（重み wj の合計が必ず1になることを利用した）。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ を得る[2]。

${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ および ${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$の証明

（必要なら添え字を付けなおすなどして）${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$と仮定する。すると $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\end{aligned}}}$$ を得る。${\displaystyle M_{-\infty }}$については $${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}}$$ より導出できる。

ヘルダー平均は次の性質をもつ^[1]：

• 引数 x₁, ... , x_n の最小値と最大値の間にある。

  ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$

• 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を P とすると次式で表される：

  ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$

• 他の平均と同様、引数 x₁, ... , x_n に対して斉次である。つまり b を正の実数として次式が成り立つ：

  ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

• 準算術平均（英語版）と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。

  ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk})\right]}$

一般に -∞ ≤ p < q ≤ +∞ ならば

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

である。また2つの平均が等しいのは x₁ = x₂ = ⋯ = x_n のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$

が成り立つためである。

特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

を意味する。

ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい p の場合には小さい信号値を強調し、大きい p の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

• p が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。
• p が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。

ヘルダー平均はさらに一般化 f-平均（英語版）に一般化できる。

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

この式は f(x) = log x とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は f(x) = x^p とすることで得られる。