ムーファン・ループ

ムーファン・ループ はループ ${\displaystyle Q}$ で、任意の ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ に対して、以下の4つの同値な恒等式を満たすものである (${\displaystyle Q}$ の二項演算は並置記法^{[訳語疑問点]}で記述する)：

1. ${\displaystyle x(y(xz))=((xy)x)z\quad }$ … (N2)
2. ${\displaystyle y(x(zx))=((yx)z)x\quad }$ … (N1)
3. ${\displaystyle (xy)(zx)=x((yz)x)\quad }$ … (M1)
4. ${\displaystyle (xy)(zx)=(x(yz))x\quad }$ … (M2)

以後の説明の便宜上、式の後ろにつけた番号は、参考文献 Kunen (1995) に倣った。

• 任意の群は、結合的であるから、従ってムーファン・ループである。
• 非ゼロな八元数は、乗算に関して、非結合的なムーファン・ループを成す。

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ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない ^{[注釈 1]}。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。 ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる：

1. ${\displaystyle x(xz)=(xx)z}$ (式 (N2) において y := e を代入)
2. ${\displaystyle y(xx)=(yx)x}$ (式 (N1) において z := e を代入)
3. ${\displaystyle x(yx)=(xy)x}$ (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)

ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 ${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$ に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。この定理の系として、ムーファン・ループは、非結合的であると言える。すなわち、ムーファン・ループの任意の二つの元によって生成される部分ループは、結合的であり、従って群になる^{[訳語疑問点] [原文 2]}。

このセクションでは、ループではなく準群の場合にどうなるか考察する。 準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される^[1]。 以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。

${\displaystyle Q}$ を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。 任意の${\displaystyle a\in Q}$を固定する。準群の定義によって、${\displaystyle ae=a}$を満たす${\displaystyle e\in Q}$がただ一つ存在する。 この時、任意の${\displaystyle x\in Q}$に対して、${\displaystyle (xa)x=(x(ae))x=(xa)(ex)}$が成り立つ^{[訳注 1]}。よって、準群の定義 (消去律) によって${\displaystyle x=ex}$が成り立つ。従って、${\displaystyle e}$は左単位元である。

次に、再び準群の定義により、${\displaystyle be=e}$を満たす${\displaystyle b\in Q}$がただ一つ存在する。この時、 ${\displaystyle (yb)e=(e(yb))e=(ey)(be)=ye}$が成り立つ^{[訳注 2]}。再び準群の簡約律より、${\displaystyle yb=y}$が成り立つ。従って、${\displaystyle b}$は右単位元である^{[訳注 3]}。 さらに、${\displaystyle b=eb=e}$ であるから、${\displaystyle e}$ は(両側)単位元である。

(M2) ${\displaystyle (xy)(zx)=x((yz)x)}$だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。 この場合は${\displaystyle a\in Q}$に対して、${\displaystyle ea=a}$を満たす${\displaystyle e}$を取ると、${\displaystyle x=xe\quad \forall x\in Q}$、つまり ${\displaystyle e}$は右単位元であることが言える。 先ほどと逆に${\displaystyle eb=e}$ を満たす${\displaystyle b}$ を取って、同じことをすれば、${\displaystyle e=b}$ が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。