メルセンヌ素数と完全数の一覧

メルセンヌ素数と完全数は、数論において深い関係を持つ自然数である。

メルセンヌ素数はマラン・メルセンヌに由来し、2^p − 1（pは素数）の形で表される。例えば、3はメルセンヌ素数である（3 = 2² − 1）^[1][2]。メルセンヌ素数を構成する指数pは素数でなければならないが、逆は成立しない（2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89）^[3]。

完全数は自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい自然数である。6の正の約数は1, 2, 3であり、1 + 2 + 3 = 6だから、6は完全数である^[2][4]。

ユークリッドは紀元前3世紀頃に「M_p = 2^p − 1 が素数ならば、 M_p × (M_p+1)/2 = 2^{p − 1} × (2^p − 1) は完全数」ということを証明した。例えば、メルセンヌ素数3（2² − 1 = 3）に対して、完全数は6である（2^{2 − 1} × (2² − 1) = 2 × 3 = 6）。レオンハルト・オイラーは18世紀に偶数の完全数はこの形で全て表されることを証明した。即ちメルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一対応しており、これをユークリッド・オイラーの定理という^[1][5][6]。

メルセンヌ素数や完全数が無数にあるかどうかは未解決の問題である。メルセンヌ素数の個数はLenstra–Pomerance–Wagstaff予想の対象であり、与えられたxより小さいメルセンヌ素数の数は (e^γ / log 2) × log log x（eはオイラー数、γはオイラーの定数、logは自然対数）に近似されるとしている^[7][8][9]。さらに、奇数の完全数の存在は未解決の問題だが^[10]、存在するならば10¹⁵⁰⁰より大きい数でなければならないことが証明されている^[11]。

以下は、2025年1月現在で既知の52個のメルセンヌ素数と対応する完全数、および指数pの一覧である。そのうち最大のメルセンヌ素数18個がGIMPSにより発見された。発見者は「GIMPS / 参加者の名前」の形式で掲載されている^[2]。新たなメルセンヌ素数はリュカ–レーマー・テストにより発見されている^[2]。判定法の効率性ゆえに、古くから各時点での「既知の最大の素数」の多くがメルセンヌ素数である^[12]。

2021年10月現在、48番目（p = 57,885,161）までのすべての可能性がある指数がGIMPSにより検証されている^[13]。49番目以降の順位は暫定であり、新たな素数の発見により変動する可能性がある。桁数が多い数は各数値の最初と最後の6桁のみを示している。

順位	p	メルセンヌ素数		完全数		発見			出典[14]
		数	桁数	数	桁数	日付	発見者	方法
1	2	3	1	6	1	000000000100-01-01-0000Ancient times[注釈 1]	Known to Ancient Greek mathematicians	Unrecorded	[15][16][17]
2	3	7	1	28	2				[15][16][17]
3	5	31	2	496	3				[15][16][17]
4	7	127	3	8128	4				[15][16][17]
5	13	8191	4	33550336	8	000000001456-01-01-0000 13th century or 1456[注釈 2]	Ibn Fallus or anonymous[注釈 3]	Trial division	[16][17]
6	17	131071	6	8589869056	10	000000001588-01-01-00001588年[注釈 2]	Pietro Cataldi		[2][20]
7	19	524287	6	137438691328	12				[2][20]
8	31	2147483647	10	230584...952128	19	000000001772-01-01-00001772年	Leonhard Euler	Trial division with modular restrictions	[21][22]
9	61	230584...693951	19	265845...842176	37	000000001883-11-01-00001883年11月	Ivan Pervushin	Lucas sequences	[23]
10	89	618970...562111	27	191561...169216	54	000000001911-06-01-00001911年6月	Ralph Ernest Powers		[24]
11	107	162259...288127	33	131640...728128	65	000000001914-06-01-00001914年6月1日			[25]
12	127	170141...105727	39	144740...152128	77	000000001876-01-10-00001876年1月10日	Édouard Lucas		[26]
13	521	686479...057151	157	235627...646976	314	000000001952-01-30-00001952年1月30日	Raphael M. Robinson	Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC	[27]
14	607	531137...728127	183	141053...328128	366				[27]
15	1,279	104079...729087	386	541625...291328	770	000000001952-06-25-00001952年6月25日			[28]
16	2,203	147597...771007	664	108925...782528	1,327	000000001952-10-07-00001952年10月7日			[29]
17	2,281	446087...836351	687	994970...915776	1,373	000000001952-10-09-00001952年10月9日			[29]
18	3,217	259117...315071	969	335708...525056	1,937	000000001957-09-08-00001957年9月8日	Hans Riesel	LLT on BESK	[30]
19	4,253	190797...484991	1,281	182017...377536	2,561	000000001961-11-03-00001961年11月3日	Alexander Hurwitz	LLT on IBM 7090	[31]
20	4,423	285542...580607	1,332	407672...534528	2,663				[31]
21	9,689	478220...754111	2,917	114347...577216	5,834	000000001963-05-11-00001963年5月11日	Donald B. Gillies	LLT on ILLIAC II	[32]
22	9,941	346088...463551	2,993	598885...496576	5,985	000000001963-05-16-00001963年5月16日			[32]
23	11,213	281411...392191	3,376	395961...086336	6,751	000000001963-06-02-00001963年6月2日			[32]
24	19,937	431542...041471	6,002	931144...942656	12,003	000000001971-03-04-00001971年3月4日	Bryant Tuckerman	LLT on IBM 360/91	[33]
25	21,701	448679...882751	6,533	100656...605376	13,066	000000001978-10-30-00001978年10月30日	Landon Curt Noll & Laura Nickel	LLT on CDC Cyber 174	[34]
26	23,209	402874...264511	6,987	811537...666816	13,973	000000001979-02-09-00001979年2月9日	Landon Curt Noll		[34]
27	44,497	854509...228671	13,395	365093...827456	26,790	000000001979-04-08-00001979年4月8日	Harry L. Nelson & David Slowinski	LLT on Cray-1	[35][36]
28	86,243	536927...438207	25,962	144145...406528	51,924	000000001982-09-25-00001982年9月25日	David Slowinski		[37]
29	110,503	521928...515007	33,265	136204...862528	66,530	000000001988-01-29-00001988年1月29日	Walter Colquitt & Luke Welsh	LLT on NEC SX-2	[38][39]
30	132,049	512740...061311	39,751	131451...550016	79,502	000000001983-09-19-00001983年9月19日	David Slowinski et al. (Cray)	LLT on Cray X-MP	[40]
31	216,091	746093...528447	65,050	278327...880128	130,100	000000001985-09-01-00001985年9月1日		LLT on Cray X-MP/24	[41][42]
32	756,839	174135...677887	227,832	151616...731328	455,663	000000001992-02-17-00001992年2月17日		LLT on Harwell Lab's Cray-2	[43]
33	859,433	129498...142591	258,716	838488...167936	517,430	000000001994-01-04-00001994年1月4日		LLT on Cray C90	[44]
34	1,257,787	412245...366527	378,632	849732...704128	757,263	000000001996-09-03-00001996年9月3日		LLT on Cray T94	[45][46]
35	1,398,269	814717...315711	420,921	331882...375616	841,842	000000001996-11-13-00001996年11月13日	GIMPS / Joel Armengaud	LLT / Prime95 on 90 MHz Pentium PC	[47]
36	2,976,221	623340...201151	895,932	194276...462976	1,791,864	000000001997-08-24-00001997年8月24日	GIMPS / Gordon Spence	LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium PC	[48]
37	3,021,377	127411...694271	909,526	811686...457856	1,819,050	000000001998-01-27-00001998年1月27日	GIMPS / Roland Clarkson	LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium PC	[49]
38	6,972,593	437075...193791	2,098,960	955176...572736	4,197,919	000000001999-06-01-00001999年6月1日	GIMPS / Nayan Hajratwala	LLT / Prime95 on IBM Aptiva with 350 MHz Pentium II processor	[50]
39	13,466,917	924947...259071	4,053,946	427764...021056	8,107,892	000000002001-11-14-00002001年11月14日	GIMPS / Michael Cameron	LLT / Prime95 on PC with 800 MHz Athlon T-Bird processor	[51]
40	20,996,011	125976...682047	6,320,430	793508...896128	12,640,858	000000002003-11-17-00002003年11月17日	GIMPS / Michael Shafer	LLT / Prime95 on Dell Dimension PC with 2 GHz Pentium 4 processor	[52]
41	24,036,583	299410...969407	7,235,733	448233...950528	14,471,465	000000002004-05-15-00002004年5月15日	GIMPS / Josh Findley	LLT / Prime95 on PC with 2.4 GHz Pentium 4 processor	[53]
42	25,964,951	122164...077247	7,816,230	746209...088128	15,632,458	000000002005-02-18-00002005年2月18日	GIMPS / Martin Nowak		[54]
43	30,402,457	315416...943871	9,152,052	497437...704256	18,304,103	000000002005-12-15-00002005年12月15日	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone	LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri	[55]
44	32,582,657	124575...967871	9,808,358	775946...120256	19,616,714	000000002006-09-04-00002006年9月4日			[56]
45	37,156,667	202254...220927	11,185,272	204534...480128	22,370,543	000000002008-09-06-00002008年9月6日	GIMPS / Hans-Michael Elvenich	LLT / Prime95 on PC	[57]
46	42,643,801	169873...314751	12,837,064	144285...253376	25,674,127	000000002009-06-04-00002009年6月4日[注釈 4]	GIMPS / Odd Magnar Strindmo	LLT / Prime95 on PC with 3 GHz Intel Core 2 processor	[58]
47	43,112,609	316470...152511	12,978,189	500767...378816	25,956,377	000000002008-08-23-00002008年8月23日	GIMPS / Edson Smith	LLT / Prime95 on Dell OptiPlex PC with Intel Core 2 Duo E6600 processor	[57][59][60]
48	57,885,161	581887...285951	17,425,170	169296...130176	34,850,340	000000002013-01-25-00002013年1月25日	GIMPS / Curtis Cooper	LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri	[61][62]
49	74,207,281	300376...436351	22,338,618	451129...315776	44,677,235	000000002016-01-07-00002016年1月7日[注釈 5]	GIMPS / Curtis Cooper	LLT / Prime95 on PC with Intel Core i7-4790 processor	[63][64]
*	74,340,751	Lowest unverified milestone[注釈 6]
50[注釈 7]	77,232,917	467333...179071	23,249,425	109200...301056	46,498,850	000000002017-12-26-00002017年12月26日	GIMPS / Jonathan Pace	LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-6600 processor	[65][66]
51[注釈 7]	82,589,933	148894...902591	24,862,048	110847...207936	49,724,095	000000002018-12-07-00002018年12月7日	GIMPS / Patrick Laroche	LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-4590T processor	[67][68]
52[注釈 7]	136,279,841	881694...871551	41,024,320	388692...008576	82,048,640	000000002024-10-12-00002024年10月12日	GIMPS / Luke Durant	LLT / PRPLL on Nvidia H100 GPU[注釈 8]	[69]
*	137,750,177	Lowest untested milestone[注釈 6]