ヤコビの定理 (幾何学)

ユークリッド幾何学において、ヤコビの定理（ヤコビのていり、英: Jacobi's theorem）は、任意の三角形△ABCと角α, β, γに関する定理である^[1][2]。3点 X, Y, Z が$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ZAB&=\angle YAC&=\alpha \\\angle XBC&=\angle ZBA&=\beta \\\angle YCA&=\angle XCB&=\gamma \end{aligned}}}$$を満たすときAX, BY, CZは共点であり、その点をヤコビ点 (Jacobi point) という^[3][4][5]。ヤコビの定理はカール・フリードリヒ・アンドレアス・ヤコビにちなんで名づけられた。

ヤコビ点はフェルマー点の一般化であり、α = β = γ = 60°としたときにフェルマー点となる。

3つの角が等しいとき、ヤコビ点 N は重心座標で次の式を満たす双曲線上にある。 $${\displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0}$$ これはキーペルト双曲線と呼ばれる。

ヤコビ点は次のように一般化することができる。

△ABCのそれぞれの辺上に点K, L, M, N, O, Pを、 BK/KC = CL/LB = CM/MA = AN/NC = AO/OB = BP/PA を満たすように配置する。更に点D, E, F, X, Y, Zを∠DOP = ∠FNM, ∠DPO = ∠EKL, ∠ELK = ∠FMNかつ、△LMY ~ △OPD, △NOZ ~ △KLE, △PKX ~ △MNFを満たすように配置したとき、DY, EZ, FXは共点である^[5][6]。