キーペルト双曲線

キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。

1. 三角形 ABC に対し、 ∠xBC = ∠xCB = θ となる点 x をとる。
   • θ が正の時は x は BC に対し A と逆側に取る。 θ が負の時は x は BC に対し A と同じ側に取る。
2. 同様に y, z をとる。
3. Ax, By, Cz の交点 N がキーペルト点である。

キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。

3線が1点で交わることは以下のように証明できる。

• Ax と BC が交わる点を D とする。

点 x の定義より、△BCx は Bx = Cx となる二等辺三角形である。三角形の面積公式 S = (1/2)ab sin(C) を用いると、△ABx と △ACx の面積は以下のように表せる。

3直線が1点で交わることは、チェバの定理の逆を用いて証明できる。

直線 Ax と辺 BC の交点を D とする。点 A と D は直線 Ax 上にあるため、2つの三角形 △ABx と △ACx の面積比は、底辺をそれぞれ Bx, Cx と見なした際の高さの比に依存せず、線分 BD と DC の比と関連付けられる。この時、点 A を頂点とする △ABD と △ACD の面積比は、共通の高さを持つため底辺の比に等しく BD : DC となる。同様に、点 x を頂点とする △xBD と △xCD の面積比も BD : DC となる。

直線 Ax と辺 BC の交点を D とする。頂点 A を共有する △ABD と △ACD の面積の比は、それらの底辺の長さの比に等しい。同様に、頂点 x を共有する △xBD と △xCD の面積比も底辺の比に等しい。

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {\mathrm {Area} (\triangle ABD)}{\mathrm {Area} (\triangle ACD)}}={\frac {\mathrm {Area} (\triangle xBD)}{\mathrm {Area} (\triangle xCD)}}}$

したがって、これらの面積の差を用いても比は変わらないため、以下の関係が成り立つ^[1]。

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {\mathrm {Area} (\triangle ABD)-\mathrm {Area} (\triangle xBD)}{\mathrm {Area} (\triangle ACD)-\mathrm {Area} (\triangle xCD)}}={\frac {\mathrm {Area} (\triangle ABx)}{\mathrm {Area} (\triangle ACx)}}}$

ここで、三角形の面積公式 Area = 1/2ab sin C を用いると、

• Area(△ABx) = 1/2 AB · Bx · sin(∠ABx) = 1/2 c · Bx · sin(B + θ)
• Area(△ACx) = 1/2 AC · Cx · sin(∠ACx) = 1/2 b · Cx · sin(C + θ)

点 x の定義より △BCx は二等辺三角形であるため、Bx = Cx である。よって、面積比は以下のようになる。

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {c\sin(B+\theta )}{b\sin(C+\theta )}}}$

同様に、直線 By と辺 CA の交点を E、直線 Cz と辺 AB の交点を F とすると、

• ${\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {a\sin(C+\theta )}{c\sin(A+\theta )}}}$
• ${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {b\sin(A+\theta )}{a\sin(B+\theta )}}}$

となる。これらの比の積を計算すると、

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\cdot {\frac {AF}{FB}}={\frac {c\sin(B+\theta )}{b\sin(C+\theta )}}\cdot {\frac {a\sin(C+\theta )}{c\sin(A+\theta )}}\cdot {\frac {b\sin(A+\theta )}{a\sin(B+\theta )}}=1}$

となり、チェバの定理の逆によって3直線 AD, BE, CF（すなわち Ax, By, Cz）は1点で交わる。

上述のチェバの定理の証明から、キーペルト点 N の重心座標は以下の式で与えられる。

${\displaystyle \left({\frac {a}{\sin(A+\theta )}}:{\frac {b}{\sin(B+\theta )}}:{\frac {c}{\sin(C+\theta )}}\right)}$

ここで、a = BC, b = CA, c = AB である。

キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。

(a² - b²)xy + (c² - a²)xz + (b² - c²)yz = 0.

キーペルト双曲線の2本の漸近線は、ブロカール軸と外接円との2つの交点におけるシムソン線である^[2]。これらの漸近線は互いに直交し、その交点X(115)は九点円上にある。この点の重心座標は以下のように表される^[3]。

((b² - c²)² : (c² - a²)² : (a² - b²)²).

三角形が正三角形の場合、a = b = cであるため、キーペルト双曲線の重心座標による方程式は(a² - a²)yz + (a² - a²)zx + (a² - a²)xy = 0、すなわち0 = 0となる。これは特定の曲線を表さず、この方程式は平面上の任意の点によって満たされるため、双曲線は不定となり、平面全体に退化すると解釈される。

以下の点はキーペルト双曲線上にある。

• 3つの頂点
• 重心
• 垂心
• フェルマー点
• ナポレオン点
• 中点三角形の内心(シュピーカー点)
• 第三ブロカール点
• タリー点
• ベクタン点