ヤコビアン予想

いま N > 1 を固定した正整数とし、X₁, ..., X_N を変数とし、体 k 上に係数を取る多項式 f₁, ..., f_N を考えよう。そしてベクトル値関数 F: k^N → k^N を次のごとく定義する：

F(c₁, ..., c_N) = (f₁(c₁, ...,c_N),..., f_N(c₁,...,c_N)).

(F は多項式写像である。)

F のヤコビアン（これは J_F と書かれる）は偏微分 ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial X_{j}}$ からなる N × N 行列（ヤコビ行列）の行列式として定義される。

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{N}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{N}}}\end{matrix}}\right|,}$

このとき J_F 自身 X₁, ..., X_N の N 変数の多項式関数である。

多変数の連鎖律より、もし F が多項式（であるような）逆関数 G: k^N → k^N を持つならば、J_F の逆数は多項式で表され、したがって非ゼロ定数である。ヤコビアン予想は下述のように部分的な逆の成立を述べるものである：

ヤコビアン予想: もし J_F が非ゼロ定数で k が標数 0 を持つならば、F は逆関数 G: k^N → k^N を持ち、G は正則（各成分が多項式）である。

van den Essen (1997)によれば、2変数かつ整数係数という限定された場合について、1939年にKellerによって初めて予想された。（これは証明された。 § 諸結果を見よ。）

k が正標数 p を持つヤコビアン予想の明らかな類似物は1変数であってさえ成立しない。（正標数の）体の標数は素数でなければならないから、よって少なくとも 2 以上である。多項式 x − x^p は微分 1 − px x^p−2 を持ち、これは（px が 0 ゆえ）1 であるが、逆関数は持たない。しかしながら、Adjamagbo (1995)は、p が体の拡大 k(X) / k(F) の次数を割り切らないという仮定を追加することで、ヤコビアン予想を標数 p > 0 に拡張することを提案している。

J_F ≠ 0 という条件は多変数微分積分学における逆関数定理に関係している。実際、滑らかな関数（もちろんとくに多項式）について、J_F が非ゼロとなる任意の点で、F の滑らかな局所逆関数が存在する。例えば、写像 x → x + x³ は滑らかな大域的逆関数を持つけれども、それは多項式ではない。