ランプ関数

非負性

ランプ関数は定義域全体で非負となる。

${\displaystyle \forall x\in \mathbf {R} :R(x)\geq 0}$

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

${\displaystyle |R(x)|=R(x)}$

導関数

ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。

${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0}$

二階導関数

ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し δ(x) はディラックのデルタ関数である。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0})}$

これは、R(x) が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 f′′(x) を持つ任意の関数 f(x) は、a < x < b のとき次の方程式を満たす。

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\operatorname {d} s}$

フーリエ変換

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$

ここで δ(x) は ディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。

ラプラス変換

ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$

冪等性

ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。^[2]

${\displaystyle R(R(x))=R(x)}$