レヴィ・チヴィタ接続

レヴィ-チヴィタ接続（レヴィ-チヴィタせつぞく、英: Levi-Civita connection）は、幾何学領域で使われる微分演算子であり、リーマン多様体上に共変微分という操作を定め、記号ナブラ $\nabla$ で表される事が多い。レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」（後述）を用いる事で、 $M$ 上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ-チヴィタによる。

リーマン計量を持たない多様体 $M$ において、 $M$ 上で定義された曲線 $c(t)$ の一階微分 $c'(t)$ は接ベクトル空間 $T_{c(t)}M$ の元として定義する事ができるが、二階微分はそのように定義する事はできない^{[注 1]}。レヴィ-チヴィタ接続 $\nabla$ は、 $M$ がリーマン多様体である場合に対し、 $c'(t)$ などの接ベクトルをさらに微分する「共変微分」という手段を与える。

リーマン多様体 $M$ がユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{N}$ の部分多様体の場合は、 $\mathbb {R} ^{N}$ における（通常の意味の）微分を $M$ に射影したものを考える事ができるが、実はこのように定義した共変微分は $M$ の内在的な量である事、すなわちすなわち $\mathbb {R} ^{N}$ から $M$ に誘導されるリーマン計量とその偏微分のみで記述可能である事が知られている。このため $\mathbb {R} ^{N}$ の部分空間とは限らない一般のリーマン多様体 $M$ に対しても、リーマン計量とその偏微分を用いて微分概念を定義する事が可能であり、これが $M$ における共変微分である。

以上の議論により、リーマン多様体 $M$ がユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{N}$ の部分多様体の場合において、（ $\mathbb {R} ^{N}$ 上でニュートン力学が成立しているとすれば）、 $c'(t)$ の共変微分の直観的意味は、 $M$ の鉛直方向に無限に大きい束縛力が働いているため $M$ の鉛直方向の加速度がキャンセルされる状況下における $c(t)$ の加速度を表している。一方、一般相対性理論では $M$ がリーマン多様体ではなく擬リーマン多様体（の特集ケースであるローレンツ多様体）である場合において、共変微分に対してこれとは別の物理的解釈を与えている。以下、本稿で特に断りなく「物理的に」と言った場合はニュートン力学の方の物理的解釈を意味するものとするが、必要に応じて一般相対性理論の方の解釈についても触れる。

これまで $c'(t)$ の共変微分を考えてきたが、より一般に、 $v(t)$ を $c(t)$ 上定義された $M$ のベクトル場（すなわち各時刻 $t$ に対し、 $v(t)$ は $v(t)\in T_{c(t)}M$ を満たす。例えば $v(t)=c'(t)$ ）とするとき、レヴィ-チヴィタ接続 $\nabla$ は共変微分 ${\nabla \over dt}v(t)\in T_{c(t)}M$ を定義可能である。さらにこれを自然に一般化する事により、２つのベクトル場 $X$ 、 $Y$ に対し、 $Y$ の $X$ 方向の共変微分 $\nabla _{X}Y$ を定義できる。

M がℝNの部分リーマン多様体である場合の共変微分

本節では $\mathbb {R} ^{N}$ の部分リーマン多様体に対す共変微分を定義し、次節でそれを一般のリーマン多様体に拡張する。 $M$ を $\mathbb {R} ^{N}$ の部分リーマン多様体、 $c(t)$ を $M$ 上の曲線、さらに $v(t)$ を $c(t)$ 上定義された $M$ のベクトル場（すなわち各時刻 $t$ に対し、 $v(t)$ は $v(t)\in T_{c(t)}M$ を満たす。例えば $v(t)$ は $c(t)$ の微分）とする。このとき

{\nabla  \over dt}v(t):=\mathrm {Pr} _{c(t)}\left({d \over dt}v_{c(t)}\right)

を $v(t)$ の $c(t)$ に沿った共変微分という。ここで $\mathrm {Pr} _{c(t)}$ は点 $c(t)$ における $M$ に対する接空間（と自然に同一視可能な $T_{c(t)}M$ ）への射影をとる操作である。

また $X$ 、 $Y$ を $M$ 上のベクトル場とするとき、

\nabla _{X}Y|_{P}:={\nabla  \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}

と定義し、 $Y$ の $X$ 方向の共変微分 $\nabla _{X}Y$ を定義できる。ここで $\exp(tX)(P)$ は時刻 $0$ に点 $P\in M$ を通る $X$ の積分曲線である。

上に定義した２つの量は $M$ の内在的な量である事、すなわち $\mathbb {R} ^{n}$ から $M$ に誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから得られる事が言える：

定理 ― $M$ に局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ を取るとき、以下が成立する（アインシュタインの縮約で表記）：

{\nabla  \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^{i}(t)+{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right)\left.{\partial  \over \partial x^{i}}\right|_{c(t)}

...(1)

　　　where

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)

...(2)

ここで $v(t)=v^{i}(t){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ であり、 $g_{k\ell }=g({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})$ であり、 $(g^{i\ell })_{i\ell }$ は $(g_{\ell j})_{\ell j}$ の逆行列である。すなわち $\delta ^{i}{}_{j}$ をクロネッカーのデルタとするとき、 $g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}$ である。

証明

$\mathbb {R} ^{n}$ の元を成分で ${\vec {y}}=(y^{1},\ldots ,y^{n})$ と表し、局所座標が $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ で表せる $M$ の元の $\mathbb {R} ^{n}$ における成分表示を

{\vec {y}}(x^{1},\ldots ,x^{m})=(y^{1}(x^{1},\ldots ,x^{m}),\ldots ,y^{n}(x^{1},\ldots ,x^{m}))

と表すと、

{d \over dt}{\vec {v}}(t)

={d \over dt}\left(v^{k}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))\right)

={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))

である。 ${\tfrac {\partial {\vec {y}}}{\partial x^{k}}}(x(t))$ は $M$ の ${\vec {y}}(x(t))$ における接平面に属しているので、

\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)

={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)

...(A)

が成立する。よって後は $\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\tfrac {\partial ^{2}{\vec {y}}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t))\right)$ の具体的な形を決定すれば良い。そのためには成分で

\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)

=a_{jk}^{i}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}(x(t))

...(B)

と書いて係数の $a_{jk}^{i}(t)$ を決定すればよい。以下記号を簡単にするため「 $a_{jk}^{i}(t)$ 」を単に「 $a_{jk}^{i}$ 」と書き、偏微分から「 $x(t)$ 」を省略する。すると、

a_{jk}^{i}g_{i\ell }=a_{jk}^{i}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

=\left\langle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}\right),{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

であるので、

a_{jk}^{i}=g^{i\ell }\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

...(C)

である。一方ライプニッツ則より

{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}={\partial  \over \partial x^{j}}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{\ell }}\right\rangle

であるので、添字をサイクリックに入れ替えることで以下の3式を得る：

{\begin{aligned}{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}&=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{\ell }}\right\rangle \\{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}&=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{k}\partial x^{\ell }},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{k}\partial x^{j}}\right\rangle \\{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}&=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{\ell }\partial x^{j}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{\ell }\partial x^{k}}\right\rangle \end{aligned}}

第1式と第2式の和から第3式を引くと、右辺の第2項同士が打ち消し合うため、

{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}=2\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\,\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle

が得られる。よって $\Gamma _{jk}^{i}$ の定義と(C)より、

a_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}

が結論付けられる。よって(A)、(B)、(C)から

\mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)

={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}

=\left({dv^{i}(t) \over dt}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\right){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}

同様に $X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ 、 $Y=Y^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ とすると、以下が成立する：

定理 ― 　

\nabla _{X}Y=\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial  \over \partial x^{i}}

...(3)

一般のリーマン多様体における共変微分とその特徴づけ

定義

前節で述べたように ${\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)$ や $\nabla X Y$ は $M$ に内在的な量なので、一般のリーマン多様体に対しても、(1)、(2)、(3)式をもってこれらの量を定義できる：

定義 (レヴィ-チヴィタ接続) ― $(M,g)$ をリーマン多様体とする。 $M$ のベクトル場 $X$ 、 $Y$ に対し、(2)、(3)式のように定義された $\nabla _{X}Y$ を対応させる演算子 $\nabla$ を $(M,g)$ のレヴィ-チヴィタ接続（英: Levi-Civita connection）と呼び^[1]^[2]^[3]^{[注 2]}といい、 $\nabla _{X}Y$ を $\nabla X Y$ を $Y$ の $X$ 方向の共変微分（英: covariant derivative）という。

定義 ― $P(t)$ を $M$ 上の曲線、 $v(t)$ を $P(t)$ 上定義された $M$ のベクトル場とするとき、(1)式のように定義された ${\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)$ を曲線 $P(t)$ に沿った $v(t)$ の共変微分（英: covariant derivative）という。

レヴィ-チヴィタ接続の定義は(1)、(2)、(3)式に登場する局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ に依存しているが、局所座標によらずwell-definedである事を証明できる。

レヴィ・チヴィタ接続の事をリーマン接続（英: Riemannian connection）もしくはリーマン・レヴィ-チヴィタ接続（英: Riemann Levi-Civita connection）とも呼ぶ^[1]^[2]^[3]。

レヴィ-チヴィタ接続の定義から明らかに以下の事実が従う：

定理 (ユークリッド空間における共変微分) ― $M=\mathbb {R} ^{m}$ である場合、次が成立する：

${\nabla \over \mathrm {d} t}v(t)={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}v(t)$
$\nabla _{X}Y=XY=X^{i}{\partial Y^{j} \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{j}}$

すなわち、共変微分 ${\nabla \over \mathrm {d} t}v(t)$ 、 $\nabla _{X}Y$ はユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{m}$ における微分概念 ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}v(t)$ 、 $XY$ を一般のリーマン多様体に拡張したものである。

クリストッフェル記号

レヴィ-チヴィタ接続を局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ で表したとき、(2)式で定義される $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ を局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ に関するクリストッフェル記号という。クリストッフェル記号は

\nabla _{\partial  \over \partial x^{j}}{\partial  \over \partial x^{k}}=\Gamma _{jk}^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}

を満たす係数である。

クリストッフェル記号は以下の座標変換則を満たす：

定理 ― リーマン多様体 $M$ において、局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ に関するクリストッフェル記号の組を $(\Gamma _{jk}^{i})_{i,j,k}$ 、局所座標 $(y^{1},\ldots ,y^{m})$ に関するクリストッフェル記号の組を $({\bar {\Gamma }}_{tu}^{s})_{s,t,u}$ とすると以下が成立する：

\Gamma _{jk}^{i}={\partial y^{u} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}+{\partial x^{i} \over \partial y^{s}}{\partial y^{t} \over \partial x^{j}}{\partial y^{u} \over \partial x^{k}}{\bar {\Gamma }}_{tu}^{s}

証明

記号を簡単にするため、必要に応じて ${\partial \over \partial x^{i}}$ を $\partial _{x^{i}}$ と略記する。

定義から

\nabla _{\partial _{x^{j}}}{\partial  \over \partial x^{k}}=\Gamma _{jk}^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}

であるので、ライプニッツ則から

\Gamma _{jk}^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}=\nabla _{\partial _{x^{j}}}{\partial  \over \partial x^{k}}=\nabla _{\partial _{x^{j}}}\left({\partial y^{u} \over \partial x^{k}}{\partial  \over \partial y^{u}}\right)

={\partial y^{u} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}{\partial  \over \partial y^{u}}+{\partial y^{u} \over \partial x^{k}}\nabla _{\partial _{x^{j}}}{\partial  \over \partial y^{u}}

が成立する。上式の第二項は

上式第二項

={\partial y^{u} \over \partial x^{k}}{\partial y^{t} \over \partial x^{j}}\nabla _{\partial _{y^{t}}}{\partial  \over \partial y^{u}}

={\partial y^{u} \over \partial x^{k}}{\partial y^{t} \over \partial x^{j}}\nabla _{\partial _{y^{t}}}{\bar {\Gamma }}_{tu}^{s}{\partial  \over \partial y^{s}}

を満たすので、以上をまとめると、

\Gamma _{jk}^{i}{\partial  \over \partial x^{i}}

={\partial y^{u} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}{\partial  \over \partial y^{u}}+{\partial y^{u} \over \partial x^{k}}{\partial y^{t} \over \partial x^{j}}\nabla _{\partial _{y^{t}}}{\bar {\Gamma }}_{tu}^{s}{\partial  \over \partial y^{s}}

両辺に ${\partial x^{i} \over \partial y^{s}}$ を乗じて各成分を見る事により定理が示される。

証明からわかるように、この変換則はライプニッツ則から従っている。また、上の定理から特に、クリストッフェル記号は（物理学用語の意味での^{[注 3]}）テンソルではない。

リーマン幾何学の基本定理

レヴィ-チヴィタ接続は以下の性質により特徴づけられる：

定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― レヴィ-チヴィタ接続は以下の5つの性質を満たす。また $M$ 上のベクトル場の組に $M$ 上のベクトル場を対応させる汎関数で以下の5つの性質をすべて満たすものはレヴィ-チヴィタ接続に限られる^[4]^[5]：

$\nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z$ (関数に関する左線形性)
$\nabla _{X}(aY+bZ)=a\nabla _{X}Y+b\nabla _{X}Z$ (実数に関する右線形性)　
$\nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y$ 　（ライプニッツ則）
$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ (捻れなし）
$Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$ （計量との両立）

ここで $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ は $M$ 上の任意の可微分なベクトル場であり、 $f$ 、 $g$ は $M$ 上定義された任意の実数値 $C \infty$ 級関数であり、 $a$ 、 $b$ は任意の実数であり、 $fY$ は点 $u\in M$ において $f(u)Y_{u}$ となるベクトル場であり、 $X(f)$ は $f$ の $X$ 方向微分であり、 $[X,Y]$ はリー括弧（英語版）である。すなわち、

[X,Y]:=XY-YX=X^{i}{\partial Y^{j} \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{j}}-Y^{i}{\partial X^{j} \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{j}}

定義に関していくつか注釈を述べる。第一に、条件1のように、任意の $C \infty$ 級関数に対して線形性が成り立つことを $C^{\infty }(M)$ -線形であるという^[6]。一般に $C^{\infty }(M)$ -線形な汎関数は、一点の値のみでその値が決まる事が知られている^[7]。例えばレヴィ-チヴィタ接続の場合、点 $P\in M$ における $\nabla _{X}Y$ の値は $X P$ のみに依存し $P$ 以外の点 $Q$ における $X$ の値 $X Q$ には依存しない。

第二に、5番目の条件は後述するテンソル積の共変微分を用いると、

\nabla _{Z}g=0

とも書ける。

最後に、上に挙げた5つの条件のうち、最初の3つを満たす微分演算子をアフィン接続といい、レヴィ-チヴィタ接続を一般化した概念として知られている。

Koszulの公式

上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。

定理 (Koszulの公式（英: Koszul formula^[8]）) ― $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ をリーマン多様体 $M$ 上の任意の可微分なベクトル場とするとき、以下が成立する^[9]：

2g(\nabla _{X}Y,Z)

=Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)

-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])

二階共変微分

$X$ 、 $Y$ 、 $Z$ を $M$ 上の３つのベクトル場とする二階共変微分 $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ とは、ライプニッツ則が成立するように $\nabla _{X}(\nabla _{Y}Z)$ に補正を加えたものである。すなわち、 $\nabla _{X}(\nabla _{Y}Z)$ が「 $Y$ 部分を共変微分したもの」 $\nabla _{\nabla _{X}Y}Z$ と「それ以外の部分を共変微分したもの」 $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ の和になるように二階共変微分を定義する。ここで $\nabla _{\nabla _{X}Y}Z$ は $W=\nabla _{X}Y$ により $Z$ を共変微分した $\nabla _{W}Z$ の事である。

定義 (二階共変微分^[10]) ― $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ をリーマン多様体 $M$ 上の３つのベクトル場とするとき、

\nabla _{X}(\nabla _{Y}Z)=\nabla _{X,Y}^{2}Z+\nabla _{\nabla _{X}Y}Z

を満たす $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ を $Z$ の $X$ 、 $Y$ による二階共変微分（英: second covariant derivative）という。

上述の定義に対して２つ注意を述べる。第一に、三階以上の共変微分も原理的にはライプニッツ則により同様に定義可能であるものの、定義が煩雑になる。そこで後の章で一般のテンソルに対する二階以上の共変微分を定義する際にはテンソル代数を使う事により、前述した「それ以外の部分の共変微分」という直観をより直接的に定義し、その定義が上述の定義と一致する事を見る。

第二に、 $M$ がユークリッド空間の場合は $\nabla _{X}Y=XY$ であった（前述）ので、ユークリッド空間においては $\nabla _{X}(\nabla _{Y}Z)$ も $\nabla _{\nabla _{X}Y}Z$ も $XYZ$ に等しく、したがって二階共変微分 $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ は $0$ となる。よって二階共変微分はユークリッド空間ではない一般のリーマン多様体において初めて意味を持つ概念である。

規約

本項では文献^[11]^[12]^[13]に従い二階共変微分を「 $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ 」と書いたが、文献^[14]ではこれと同じ物を「 $\nabla _{Y,X}^{2}Z$ 」のように $X$ 、 $Y$ を逆順に表記している。また、我々は文献^[13]に従い、「 $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ 」という記号を使ったが、文献によっては「 $\nabla _{X,Y}^{2}Z$ 」の事を「 $\nabla _{X}\nabla _{Y}Z$ 」と書くものもある^[11]^[12]。この値は $Z$ に $\nabla _{Y}$ 、 $\nabla _{X}$ を順に作用させた $\nabla _{X}(\nabla _{Y}Z)$ とは異なるので注意されたい。

略記法

→詳細は「リッチ計算法（英語版）」を参照

文章の前後関係から局所座標が分かるときは ${\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ の事を

\partial _{x^{i}}

、

\partial _{i}

等と略記し、 $\nabla _{\partial _{j}}Y$ の事を

\nabla _{j}Y

、

と略記する。さらに $Y^{i}{}_{;j}$ を $\nabla _{j}Y$ の成分表示

$\nabla _{j}Y=Y^{i}{}_{;j}\partial _{i}$

により定義する^[15]。一方、関数 $f$ の偏微分 $\partial _{j}f$ は

f_{,j}

と「,」をつけて略記する。したがって $Y=Y^{i}\partial _{i}$ とすれば、

Y^{i}{}_{;j}=Y^{i}{}_{,j}+Y^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}

が成立する。なお、

Y^{i}{}_{;j,k}

は $\nabla _{j}(\nabla _{k}Y)$ の $i$ 番目の係数ではなく、上述した二階共変微分 $\nabla _{\partial _{j},\partial _{k}}^{2}Y$ の $i$ 番目の係数を意味するので注意されたい。

平行移動

→詳細は「接続 (ベクトル束) § 平行移動」を参照

定義

リーマン多様体 $(M,g)$ 上の曲線 $c(t)$ 上定義された $M$ 上のベクトル場 $v(t)$ が

{\nabla  \over dt}v(t)=0

を恒等的に満たすとき、 $v(t)$ は $c(t)$ 上平行であるという^[16]。また、 $c(t_{0})$ 上の接ベクトル $w_{0}\in T_{c(t_{0})}M$ と $c(t_{1})$ 上の接ベクトル $w_{1}\in T_{c(t_{1})}M$ に対し、 $v(t_{0})=w_{0}$ 、 $v(t_{1})=w_{1}$ を満たす $c(t)$ 上の平行なベクトル場 $v(t)$ が存在するとき、 $w_{1}$ は $w_{0}$ を $c(t)$ に沿って平行移動（英: parallel transportation along $c(t)$ ）した接ベクトルであるという^[16]。

ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路 $c(t)$ に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象をホロノミー（英語版）（英: holonomy）という^[17]。

右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。

性質

$c(t)$ に沿って $v\in T_{c(0)}M$ を $c(t)$ まで平行移動したベクトルを $\varphi _{c,t}(v)\in T_{c(t)}M$ とすると $\varphi _{c,t}~:~T_{c(0)}M\to T_{c(t)}M$ は線形変換であり、しかも計量を保つ。すなわち以下が成立する：

定理 (平行移動は計量を保つ) ― $g(\varphi _{c,t}(v),\varphi _{c,t}(w))=g(v,w)$

実は平行移動の概念によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事ができる：

定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体 $M$ 上の曲線 $c(t)$ と $c(t)$ 上のベクトル場 $v(t)$ に対し、 $c(t)$ に沿った平行移動を $\varphi _{c,t}$ とすると、以下が成立する^[18]：

{\nabla v \over dt}(0)

=\left.{d \over dt}\varphi _{c,t}{}^{-1}(v(t))\right|_{t=0}

ホロノミー群

とくに点 $u\in M$ から $u$ 自身までの $M$ 上の閉曲線 $c(t)$ に沿って一周する場合、接ベクトル $v\in T_{u}M$ を平行移動した元を $\varphi _{c}(v)$ と書くことにすると、

\mathrm {Hol} (\nabla ,P):=\{\phi _{c}\mid c

は

P

から

P

自身までの区分的になめらかな閉曲線

\}

は（合成関数で積を定義するとき） $T_{u}M$ 上の直交群の（閉とは限らない）部分リー群になる^[19]。 $\mathrm {Hol} (\nabla ,P)$ をレヴィ-チヴィタ接続 $\nabla$ に関するホロノミー群（英語版）（英: holonomy group）という。 $M$ が弧状連結であれば $\mathrm {Hol} (\nabla ,P)$ は点 $P$ によらず同型である。

幾何学的意味づけ

→詳細は「滑りとねじれのない転がし」を参照

$M$ をユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{N}$ の $n$ 次元部分多様体とし^{[注 4]}、 $M$ 上に曲線 $c(t)$ を取り（図の青の線）、 $c(t)$ に沿って $M$ を $n$ 次元平面 $\mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{N}$ 上「滑ったり」「ねじれたり」することなく転がした^{[注 5]}ときにできる曲線の軌跡を ${\tilde {c}}(t)$ とする（図の紫の線）。

$M$ を転がすと、時刻 $t$ に $c(t)$ が $\mathbb {R} ^{n}$ に接した瞬間に $T_{c(t)}M$ が $\mathbb {R} ^{n}$ に重なるので、自然に写像

\varphi _{t}~:~T_{c(t)}M\to \mathbb {R} ^{n}

が定義できる。この写像を使うと、 $M$ のレヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ の幾何学的意味を述べることができる：

定理 ― $v(t)\in T_{c(t)}M$ を $c(t)$ に沿った $M$ 上のベクトル場とすると、以下が成立する^[20]：

\varphi _{t}\left({\nabla  \over dt}v(t)\right)={d \over dt}\varphi _{t}(v(t))

すなわち、曲線 $c(t)$ に沿った $v(t)$ の共変微分を $\mathbb {R} ^{n}$ に移したものは、 $v(t)$ を $\mathbb {R} ^{n}$ に移したものを通常の意味で微分したものに一致する。この事実から特に、レヴィ-チヴィタ接続による平行移動と $\mathbb {R} ^{n}$ における通常の意味での平行移動の関係を示すことができる：

系 ― $c(a)$ における接ベクトル $v$ を $M$ 上曲線 $c(t)$ に沿って（レヴィ・チヴィタ接続の意味で）平行移動したものを $v'$ とするとき、 ${\tilde {c}}(a)$ におけるベクトル $\varphi _{a}(v)$ を $\mathbb {R} ^{n}$ 上 ${\tilde {c}}(b)$ まで通常の意味で平行移動したものは $\varphi _{b}(v')$ に等しい^[20]。

接続形式

$(e_{1},\ldots ,e_{m})$ を $M$ の接バンドル $TM$ の局所的な基底とし、 $X$ 、 $Y$ を $M$ 上のベクトル場とし、 $Y=Y^{j}e_{j}$ とすると、レヴィ-チヴィタ接続の定義から

\nabla _{X}Y=X(Y^{j})e_{j}+Y^{j}\nabla _{X}e_{j}

である。この式は、共変微分 $\nabla _{X}Y=\nabla _{X}(Y^{j}e_{j})$ にライプニッツ則を適用して成分部分の微分 $X(Y^{j})e_{j}$ と基底部分の微分 $Y^{j}\nabla _{X}e_{j}$ の和として表現したものと解釈できる。

そこで以下のような定義をする：

定義 (接続形式) ― 行列 $\omega (X)$ を

(\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)

により定義し、 $X$ に $\omega (X)$ を対応させる行列値の1-形式 $\omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}$ を局所的な基底 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関するレヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ の接続形式（英: connection form）という^[21]^{[注 6]}

定義から明らかに

\omega ^{i}{}_{j}(e_{k})=\Gamma ^{i}{}_{kj}

が成立する。

接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式 $ω$ と強く関係しており、底空間 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))$ を $t$ で微分したものが接続形式 $\omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))$ に一致する。

レヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ による平行移動は回転変換、すなわち $SO(m)$ の元なので、その微分である接続形式 $ω$ は $SO(m)$ のリー代数 ${\mathfrak {so}}(m)$ の元、すなわち歪対称行列である^{[注 7]}：

定理 ― $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ を $M$ の接バンドル $TM$ の局所的な正規直交基底とすると、 $(e_{1},\ldots ,e_{m})$ に関する接続形式 $ω$ は ${\mathfrak {so}}(m)$ の元である。すなわち $ω$ は歪対称行列である。

このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では $SO(m)$ ）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群 $\mathrm {SO} (m)$ の場合を説明したが、（レヴィ-チヴィタ接続とは限らない）一般の接続概念に対し、物理学で重要な他の群、例えばシンプレクティック群やスピン群に対して同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。リー群の主バンドルの接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。詳細は接続 (ファイバー束)の項目を参照されたい。

測地線

→「接続 (ベクトル束) § 測地線」も参照

定義

リーマン多様体 $(M,g)$ 上の曲線 $c(t)$ で測地線方程式

{\nabla  \over dt}{d \over dt}c(t)=0

を恒等的に満たすものを測地線という^[23]。2階微分は物理的には加速度であるので、測地線とは加速度が恒等的に $0$ である曲線、すなわちユークリッド空間における直線を一般化した概念であるとみなせる^{[注 8]}。

リーマン多様体 $M$ 上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ

\left\|{\nabla  \over ds}{dc \over ds}\right\|

を $M$ における $c(s)$ の測地線曲率^{[訳語疑問点]}（英: geodesic curvature^[24]）、あるいは単に曲率（英: curvature）という。よって測地線は、曲率が $0$ の曲線と言い換える事ができる。

存在性と一意性

常微分方程式の局所的な解の存在一意性から、点 $P\in M$ における接ベクトル $v\in T_{P}M$ に対し、ある $\varepsilon >0$ が存在し、

c(0)=P

、

{\tfrac {dc}{dt}}(0)=v

を満たす測地線 $c(t)$ が $(-\varepsilon ,\varepsilon )$ 上で一意に存在する。この測地線を

\exp(tv)

と書く。

しかし測地線は任意の長さに延長できるとは限らない。たとえば $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ （に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、測地線 $c(t)=(1-t,0)$ は $t<1$ までしか延長できない。任意の測地線がいくらでも延長できるとき、リーマン多様体は測地線完備であるという^[25]。

測地線が $\mathbb {R}$ 全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。

定理 (Hopf-Rinowの定理（英語版）) ― $(M,g)$ を連結なリーマン多様体とし、 $\nabla$ を $M$ 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である^[26]^[27]：

$(M,g)$ は $g$ が定める距離に関し、距離空間として完備である。
$(M,\nabla )$ は測地線完備である。
任意の点 $P\in M$ 、および $T P M$ の任意の元 $v$ に対し $\mathrm {exp} _{P}(v)$ を定義できる。
ある点 $P\in M$ に対し、 $T P M$ の全ての元 $v$ に対し $\mathrm {exp} _{P}(v)$ を定義できる。
$M$ 上の任意の $2$ 点 $P$ 、 $Q$ に対し、 $P$ と $Q$ の両方を通る（ $\nabla$ に関する）測地線が存在する。
$g$ が定める距離に関し、 $M$ の有界閉集合はコンパクトである。

特徴づけ

測地線の概念を全く違った角度から特徴づける事ができる。

弧長の停留曲線

このことを示すため、いくつか記号を導入する。 $(M,g)$ をリーマン多様体とし、 $\nabla$ を $(M,g)$ 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。 $x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$ を $M$ の局所座標とし、 $x$ を成分で $x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$ と表す。

$U$ 上の滑らかな曲線 $P(t)$ を考え、 $P(t)$ を局所座標 $x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$ で表したものを $x(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))\subset \mathbb {R} ^{m}$ とする。さらに $\eta ~:~[a,b]\to \mathbb {R} ^{m}$ を滑らかな写像で $\eta (a)=\eta (b)=0$ となるものとし、 $\varepsilon >0$ に対して曲線

x_{\varepsilon ,\eta }(t):=x(t)+\varepsilon \eta (t)

を考える。ここで和や定数倍は $x(t)$ 、 $\eta (t)$ を $\mathbb {R} ^{m}$ の元と見たときの和や定数倍である。

そして、

L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}

と定義し弧長積分

S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L\left(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t)\right)dt

を考える。

定義 ― $x~:~[a,b]\to \mathbb {R} ^{m}$ を滑らかな曲線とする。 $\eta (a)=\eta (b)=0$ を満たす任意の滑らかな写像 $\eta ~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$ に対し、

{dS_{x,\eta } \over d\varepsilon }(0)=0

が成立するとき、曲線 $x(t)$ は弧長積分の停留曲線^[28]もしくは（ $x(t)$ を曲線全体の空間上の「点」とみなし）停留点（英: critical point^[29]）という。

「停留曲線」は直観的には滑らかな曲線全体の空間での「微分」が $0$ になるという事である。変分法の一般論から次が成立する：

定理 ― 曲線 $x(t)$ が弧長積分の停留曲線である必要十分条件は $x(t)$ が下記の方程式（弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式）を満たす事である^[30]^[29]：

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)

for

j=1,\ldots ,m

曲線 $x(t)$ の弧長

s=\int _{a}^{t}{\sqrt {g_{x}\left({dx \over dt},{dx \over dt}\right)}}dt

によって $x(t)$ をパラメトライズする事を弧長パラメーター表示という。実は次が成立する：

定理 ― $M$ 上の滑らかな曲線 $P(t)$ （の局所座標表示）が弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式を満たす必要十分条件は、 $P(t)$ を弧長パラメーター $s$ に変換した $P(s)$ が測地線方程式

{\nabla  \over ds}{dP \over ds}=0

を満たす事である^[31]。

証明^[31]

{\dot {x}}={\tfrac {dx}{dt}}

、

g(\cdot ,\cdot )=g_{x}(\cdot ,\cdot )

、と略記すると、

ds={\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}dt

であるので、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺は

{\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={\frac {\partial }{\partial v_{\ell }}}{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}={1 \over {\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}g_{i\ell }{\dot {x}}^{i}=g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}

より、

{d \over dt}{\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={ds \over dt}{d \over ds}\left(g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}\right)={ds \over dt}\left({\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}\right)

である。一方右辺は

{\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={1 \over 2{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}{ds \over dt}

である。よって両辺を見比べることで、

{\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}

左辺第一項の添字の $i$ を $k$ に代えて整理する事で、

g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{1 \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0

よって、

{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0

ここで $\ell$ と $k$ の添字の付け替えにより

{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}={\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}{dx^{k} \over ds}{dx^{j} \over ds}

なので、

{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0

となる。クリストッフェル記号の定義から定理は証明された。

エネルギーの停留曲線

上では測地線が

L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}

S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt

に対して停留曲線になる事を示したが、エネルギー^{[注 9]}

{\bar {L}}(x,v):={g_{x}(v,v) \over 2}

から得られる

{\bar {S}}_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}{\bar {L}}(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt

に対しても停留曲線は測地線になっている事が知られている。

しかもこの事実は $g$ が正定値や非退化でなくても成立する：

定理 ― $g$ を多様体 $M$ 上定義された（正定値でも非退化でもないかもしれない）二次形式の可微分な場とするとき、 ${\bar {L}}(x,v):=g_{x}(v,v)$ の停留曲線は ${\bar {L}}$ に関するオイラー・ラグランジュ方程式

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)

for

j=1,\ldots ,m

を満たす^[32]。

定理 ― 上の定理と同じ条件下、 $g$ に対するレヴィ-チヴィタ接続を $\nabla$ とすると、 ${\bar {L}}$ に関するオイラー・ラグランジュ方程式は変数 $t$ に関する測地線方程式

{\nabla  \over dt}{dP \over dt}=0

に一致する^[32]。

この事実は擬リーマン多様体を基礎に置く一般相対性理論では、運動エネルギーを最小にする曲線、すなわち自由落下曲線が測地線になる事を含意する。

正規座標

測地線の局所的存在性から、点 $P\in M$ における接ベクトル空間 $T P M$ の原点の近傍 $0_{P}\in U\subset T_{P}M$ の任意の元 $v\in U$ に対し、測地線 $\exp _{P}(tv)$ が存在する。必要なら $U$ を小さく取り直す事で写像

v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M

が中への同型になるようにする事ができる。ベクトル空間 $T P M$ の開集合から $M$ への中への同型なので、 $v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M$ を $M$ の点 $P$ の周りの局所座標と見なす事ができる。この局所座標を $M$ の点 $u$ における正規座標（英語版）（英: normal coordinate）という^[33]。

$\mathbb {R} ^{n}$ において、 $Y(x)=(Y^{1}(x),\ldots ,Y^{n}(x))$ の $X=(X^{1},\ldots ,X^{n})$ 方向の方向微分は

\left(X^{i}{\partial Y^{1} \over \partial x^{i}},\ldots ,X^{i}{\partial Y^{n} \over \partial x^{i}}\right)

である。正規座標において、共変微分は方向微分と一致する：

定理 (正規座標における共変微分と方向微分の関係) ― : $\exp _{P}~:~U\subset T_{P}M\to M$ を $M$ の $P$ における正規座標とし、 $X=X^{i}\partial _{x^{i}}$ 、 $Y=Y^{j}\partial _{x^{j}}$ を $M$ 上の2つのベクトル場とする。このとき、以下が成立する^[34]：

\exp _{P}{}^{-1}(\nabla _{X}Y|_{P})=X^{i}(P){\partial Y^{j} \over \partial x^{i}}(P)\left.{\partial  \over \partial x^{j}}\right|_{P}

なお、後述するテンソルの共変微分に関しても、正規座標においては方向微分に一致する^[34]。

曲率

動機

レヴィ-チヴィタ接続を成分で書いた

\nabla _{X}Z=\left(X^{j}{\partial Z^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Z^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial  \over \partial x^{i}}

より、 $M=\mathbb {R} ^{m}$ であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号は全て $0$ になる。

この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。

ズレを測るため、クリストッフェル記号 $\Gamma _{jk}^{i}$ が全て $0$ であれば、

\nabla _{X}Z=X(Z^{i}){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}

となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、

\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z=XY(Z^{i}){\partial  \over \partial x^{i}}-YX(Z^{i}){\partial  \over \partial x^{i}}=[X,Y](Z^{i}){\partial  \over \partial x^{i}}=\nabla _{[X,Y]}Z

が常に成立する事を示せる。そこで

R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

と定義すると、 $R(X,Y)Z$ は $M$ が「平たい」ときには恒等的にゼロになり、この意味において $R(X,Y)Z$ は $M$ の「曲がり具合」を表している考えられる。

定義と性質

定義

定義 ― $M$ 上のベクトル場 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ に対し、

R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

と定義し、 $R$ を $\nabla$ に関する曲率（英: curvature）もしくは曲率テンソル（英: curvature tensor）という^[35]。

ここで $[X,Y]$ はリー括弧（英語版）である。 $R$ は $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ のいずれに関しても $C^{\infty }(M)$ -線形である事が知られており、したがって、各 $P\in M$ に対し、

R_{P}~:~(X,Y,Z)\in T_{P}M\times T_{P}M\times T_{P}M\mapsto R(X,Y)Z\in T_{P}M

というテンソルとみなせる。

前述した二階共変微分を使うと曲率テンソルは以下のように書ける事も知られている：

定理 (リッチの公式^[36]^[37]^[38]) ― 　

R(X,Y)Z=\nabla _{X,Y}^{2}Z-\nabla _{Y,X}^{2}Z

すなわち、曲率テンソルは二階共変微分の非可換度合いとして特徴づけられる。

規約

一部の文献^[39]では符号を反転した $R(X,Y)Z:=-(\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z)$ を曲率と呼んでいるので注意されたい。

本項の規約では後述する断面曲率の定義において分子を $g_{P}(R_{P}(v,w)w,v)$ のように不自然な順番で $v$ 、 $w$ を並べる必要があるが、文献^[39]の規約であれば $g_{P}(R_{P}(v,w)v,w)$ と自然な順番で並べられるので有利である。

性質

次の事実が知られている：

定理 ― リーマン多様体 $(M,g)$ のレヴィ-チヴィタ接続の曲率は以下を満たす^[40]：

$g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)$
$g(R(X,Y)Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)$
ビアンキの第一恒等式： $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$
ビアンキの第二恒等式^[41]： $(\nabla _{X}R)(Y,Z)+(\nabla _{Y}R)(Z,X)+(\nabla _{Z}R)(X,Y)=0$

ここで $(\nabla _{X}R)$ は $R$ が3つの接ベクトル $X$ 、 $Y$ 、 $W$ を引数にとって1つの接ベクトル $R(X,Y)W$ を返す事から、 $R$ をテンソル積 $T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes TM$ の元とみなしたときの共変微分である。テンソル積に対する共変微分の定義は後述する。

成分表示

曲率はクリストッフェル記号 $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ を用いて以下のように表すことができる：

定理 ― $R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ と成分表示すると^{[注 10]}、以下が成立する^[42]：

R^{i}{}_{jk\ell }={\partial \Gamma ^{i}{}_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma ^{i}{}_{kj} \over \partial x^{\ell }}+\Gamma ^{i}{}_{km}\Gamma ^{m}{}_{\ell j}-\Gamma ^{i}{}_{\ell m}\Gamma ^{m}{}_{kj}

以下のようにも成分表示できる：

定理 ― $R_{ijk\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}})$ とすると^{[注 10]}、以下が成立する^[43]：

R_{ijk\ell }={1 \over 2}{\Big (}{\partial  \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{k}}g_{j\ell }+{\partial  \over \partial x^{j}}{\partial  \over \partial x^{\ell }}g_{ik}-{\partial  \over \partial x^{j}}{\partial  \over \partial x^{k}}g_{i\ell }-{\partial  \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{\ell }}g_{jk}{\Big )}

={1 \over 2}\partial ^{2}{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})

ここで ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}$ は下記のKulkarni–Nomizu積である：

{\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X,Y,Z,W):={}&h(X,Z)k(Y,W)+h(Y,W)k(X,Z)\\&{}-h(X,W)k(Y,Z)-h(Y,Z)k(X,W)\end{aligned}}

特徴づけ

点 $P\in M$ を原点とする正規座標 $(x^{1},...,x^{m})$ を使うと曲率は以下のように特徴づけられる^[44]：

定理 ― : $g_{k\ell }=\delta _{k\ell }+{1 \over 3}R_{jk\ell i}x^{i}x^{j}+O(|x|^{3})$

ここで $R_{ikj\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}})$ である。

また、

\xi ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to M

を任意のなめらかな関数とし、

X:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}}\right)

、

Y:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}}\right)

とし、 $\varphi _{t}^{X}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tX)$ 、 $\varphi _{t}^{Y}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tY)$ に沿った平行移動を

(\varphi _{*}^{X})_{t}~:~T_{Q}M\to T_{\varphi _{t}(Q)}M

、

(\varphi _{*}^{Y})_{t}~:~T_{Q}M\to T_{\psi _{t}(Q)}M

とすると、曲率を以下のように特徴づけられる^[45]^[46]：

定理 ― 　

(\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}(Z)=Z+t^{2}R(X,Y)Z+o(t^{2})

この定理は一般のベクトルバンドルに対する接続においても成立する^[45]^[46]。

断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率

$\nabla$ をリーマン多様体 $(M,g)$ のレヴィ-チヴィタ接続とし、 $P$ を $M$ の点とし、 $v,w\in T_{P}M$ とし、さらに $e_{1},\ldots ,e_{m}$ を $T_{P}M$ の基底とする。

定義 ― 　

$\mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}$ を点 $P$ における $v,w$ に関する断面曲率（英: sectional curvature）という^[47]。
$\mathrm {Ric} _{P}(v,w):=\sum _{i}g_{P}(R_{P}(e_{i},v)w,e_{i})$ を点 $P$ における $v,w$ に関するリッチ曲率（英: Ricci curvature）という^[48]。
$S_{P}:=\sum _{i,j}g_{P}(R_{P}(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i})$ $=\sum _{j}\mathrm {Ric} _{P}(e_{j},e_{j})$ を点 $P$ におけるスカラー曲率（英: scalar curvature）という^[48]。

なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ ${\tfrac {1}{n-1}}$ 倍、 ${\tfrac {1}{n(n-1)}}$ 倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもある^[49]ので注意されたい。また断面曲率は $K_{P}(v,w)$ という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では $\mathrm {Sec} _{P}(v,w)$ という表記を採用した。

定義から明らかなように、以下が成立する：

定理 ― 断面曲率は $v,w$ が貼る平面のみに依存する。すなわち $v,w$ と $v',w'$ が $T P M$ 内の同一平面を貼れば以下が整理する：

\mathrm {Sec} _{P}(v,w)=\mathrm {Sec} _{P}(v'.w')

定理 ― リッチ曲率は線形写像

w\to R(w,u)v

のトレースに一致し^[48]、スカラー曲率は、

\mathrm {Ric} _{P}(u,v)=g_{P}(\rho (u),v)

を満たす線形写像 $ρ$ のトレースに一致する^[48]。

よって特にリッチ曲率、スカラー曲率の定義は基底 $e_{1},\ldots ,e_{m}$ の取り方によらない^[48]。

実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける：

定理 ― $(V,g)$ を計量ベクトル空間とし、

R,R'~:~V^{3}\to V

を各成分に対して線形な2つの写像とする。このとき、線形独立な任意のベクトル $v,w$ に対し、

{g(R(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}={g(R'(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}

であれば^{[注 11]}、 $R$ と $R'$ は同一の写像である^[50]。

部分リーマン多様体における断面曲率

→詳細は「部分リーマン多様体の接続と曲率」を参照

→「Theorema Egregium」も参照

$m$ 次元リーマン多様体 $M$ が別のリーマン多様体 ${\bar {M}}$ の余次元 $1$ の部分リーマン多様体、すなわち $M\subset {\bar {M}}$ 、 $\dim {\bar {M}}=\dim M+1$ の場合は、以下が成立する^[51]：

定理 ― $i\neqj$ を満たす任意の $i, j \in{1,..., m$ }に対し、

\mathrm {Sec} _{u}(e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}

ここで $e_{1},\ldots ,e_{m}$ は点 $u\in M$ における主方向で $\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$ を対応する主曲率であり、 $\mathrm {Sec} _{u}(X,Y)$ は $M$ の $u$ における断面曲率であり、 ${\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(X,Y)$ は ${\bar {M}}$ の $u$ における断面曲率である。よって特に $M$ が2次元リーマン多様体で ${\bar {M}}$ が $\mathbb {R} ^{3}$ の場合は $M$ の断面曲率 $\mathrm {Sec} _{u}(X,Y)$ はガウス曲率 $κ 1 κ 2$ に一致する：

定理 (Theorema Egregium) ― $\mathbb {R} ^{3}$ の二次元部分多様体 $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ に対し、点 $P$ における断面曲率は点 $P$ における主曲率と一致する^[51]。

定曲率空間

定義 (定曲率空間) ― $(M,g)$ をリーマン多様体とする。ある $c\in \mathbb {R}$ が存在して、 $M$ の任意の点 $P$ と $T P M$ の任意の独立なベクトル $v$ 、 $w$ に対し、

\mathrm {Sec} _{P}(v,w)=c

が成立するとき、 $(M,g)$ を曲率 $c$ の定曲率空間という。

定曲率空間では曲率が下記のように書ける：

定理 (定曲率空間における曲率の形) ― $(M,g)$ をリーマン多様体とし、 $c\in \mathbb {R}$ とする。このとき $M$ が曲率 $c$ の定曲率空間である必要十分条件は、 $M$ の任意の点 $P$ と $T P M$ の任意のベクトル $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 、 $W$ に対し、

g(R(X,Y)W,Z)=cg(X,W)g(Y,Z)-cg(Y,W)g(X,Z)

が成立する事である^[52]。

上記の定理より、必要ならリーマン計量 $g$ を ${\tfrac {1}{\sqrt {|c|}}}$ 倍する事で、任意の定曲率空間は、曲率が $0$ 、 $1$ 、もしくは $-1$ の定曲率空間と「相似」である事がわかる。曲率が $0$ 、 $1$ 、 $-1$ の定曲率空間については以下の事実が知られている：

定理 ― 曲率 $c$ の $m$ 次元定曲率空間 $(M,g)$ が連結かつ単連結であり、しかも距離空間として完備であるとする。このとき、次が成立する：

$c=0$ であれば、 $(M,g)$ は $m$ 次元ユークリッド空間とリーマン多様体として同型である。
$c=1$ であれば、 $(M,g)$ は $m$ 次元球面とリーマン多様体として同型である。
$c=-1$ であれば、 $(M,g)$ は $m$ 次元双曲空間（英語版）とリーマン多様体として同型である。

よって被覆空間の一般論から以下の系が従う：

系 ― 曲率が $0$ 、 $1$ 、もしくは $-1$ の連結かつ完備な $m$ 次元定曲率空間は、それぞれ $m$ 次元ユークリッド空間、 $m$ 次元球面、もしくは $m$ 次元双曲空間を普遍被覆空間に持つ。

テンソルの共変微分

本節ではテンソルに対する共変微分を定義する。

1-形式の共変微分

$(M,g)$ はリーマン多様体なので、 $M$ の接ベクトル空間と余接ベクトル空間は自然に同一視できる。この同型写像を

X\in TM{\overset {\sim }{\mapsto }}X^{\flat }\in T^{*}M

\alpha \in T^{*}M{\overset {\sim }{\mapsto }}\alpha ^{\sharp }\in TM

と書くことにする（Musical isomorphism）。

定義 ― $M$ 上の1-形式 $α$ の共変微分を以下のように定義する：

{\displaystyle \nabla _{X}\alpha

ここで $X$ は $M$ 上のベクトル場である。すると $M$ 上のベクトル場 $Y$ に対しライプニッツ則

X(\alpha (Y))=(\nabla _{X}\alpha )(Y)+\alpha (\nabla _{X}Y)

が成り立ち、局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ で書けば、

\nabla _{X}\alpha =\left(X^{j}{\partial \alpha _{k} \over \partial x^{j}}-\alpha _{i}X^{j}\Gamma _{jk}^{i}\right)dx^{k}

証明

\langle \nabla _{X}\alpha ,Y\rangle

=\langle (\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat },Y\rangle

=g((\nabla _{X}\alpha ^{\sharp }),Y)

=X(g(\alpha ^{\sharp },Y))-g(\alpha ^{\sharp },\nabla _{X}Y)

=X(\alpha (Y))-\alpha (\nabla _{X}Y)

$\nabla _{X}\alpha$ を成分表示すると、

(\nabla _{X}\alpha )(Y)=X(\alpha (Y))-\alpha (\nabla _{X}Y)

=X^{j}{\partial  \over \partial x^{j}}(\alpha _{k}Y^{k})-\alpha _{i}\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)

=X^{j}{\partial \alpha _{k} \over \partial x^{j}}Y^{k}-\alpha _{i}X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}

=\left(X^{j}{\partial \alpha _{k} \over \partial x^{j}}-\alpha _{i}X^{j}\Gamma _{jk}^{i}\right)dx^{k}(Y)

$(r, s)$ -テンソル場の共変微分

定義

より一般に、 $T$ を $M$ 上の $(r, s)$ -テンソル場の共変微分はライプニッツ則により定義する。

定理・定義 ― $T$ を $M$ 上の $(r, s)$ -テンソル場とし、 $T$ を写像

T~:~(T^{*}M)^{r}\times (TM)^{s}\to \mathbb {R}

とみなす。このとき、 $M$ 上の任意に1-形式 $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}$ と $M$ 上の任意のベクトル場 $X,Y_{1},\ldots ,Y_{s}$ に対し、

{\begin{aligned}(\nabla _{X}T)(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}):=&XT((\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}))\\&-\sum _{i=1}^{r}T((\alpha _{1},\ldots ,\nabla _{X}\alpha _{i},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}))\\&-\sum _{j=1}^{s}T((\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,\nabla _{X}Y_{j},\ldots ,Y_{s}))\end{aligned}}

を満たす $(r, s)$ -テンソル場 $\nabla _{X}T$ が存在する。 $\nabla _{X}T$ をベクトル場 $X$ による $T$ の共変微分という^[53]。

また微分形式に関しては

\bigwedge _{i}T^{*}M\subset \bigotimes _{i}T^{*}M

と見なすことによりテンソル積の共変微分を用いて微分形式の共変微分を定義できる。

具体例

$M$ 上の $0$ -形式、すなわち $M$ 上の関数 $f~:~M\to \mathbb {R}$ の共変微分は

\nabla _{X}f=Xf

である。また $α$ を $k$ -形式とし、 $c(t)$ を ${\tfrac {dc}{dt}}(0)=X_{c(0)}$ を満たす曲線とすると、 $\nabla _{X}\alpha$ は通常の微分

(\nabla _{X}\alpha )(Y_{1},\ldots ,Y_{k})|_{c(0)}={\frac {d}{dt}}(\alpha _{c(t)}(Y_{1}|_{c(t)},\ldots ,Y_{k}|_{c(t)}))

にほかならない^[14]。

テンソル場の二階共変微分

→「二階共変微分（英語版）」も参照

定義

$T$ を $M$ 上の $(r, s)$ -テンソル場とし、ベクトル場 $Y$ に $T$ の $(r, s)$ -テンソル場としての共変微分 $\nabla Y T$ を対応させる写像を

\nabla T

と書くと、 $\nabla T$ は $(r, s +1)$ -テンソル場とみなせる。同様に $T'$ を $(r, s +1)$ -テンソル場とし、ベクトル場 $X$ に $T$ の $(r, s +2)$ -テンソル場としての共変微分 $\nabla Y T'$ を対応させる写像を $\nabla T'$ とする。 $(r, s)$ -テンソル場全体の集合を $\Gamma (r,s)$ と書き、合成

\Gamma (r,s){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+1){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+2)

により定義される写像を

\nabla ^{2}T

と書き、 $\nabla ^{2}T$ を $T$ の二階共変微分（英: second covariant derivative）^[54]という。三階以上の共変微分も同様に定義できる。

二階共変微分 $\Gamma (r,s){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+1){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (r,s+2)$ で１つ目に増えた引数にベクトル場 $Y$ 、２つ目に増えた引数にベクトル場 $X$ を代入した $(r, s)$ -テンソル場を

\nabla _{X,Y}^{2}T

と書く。

性質

定義から明らかなように $\nabla _{X,Y}^{2}T$ は双線形性

\nabla _{X,Y}^{2}T=X^{i}Y^{j}\nabla _{\partial _{x^{i}},\partial _{x^{j}}}^{2}T

を満たす。このことからも分かるように $\nabla _{X,Y}^{2}T$ と $\nabla _{X}(\nabla _{Y}T)$ は別の値であり、両者は

\nabla _{X}(\nabla _{Y}T)=\nabla _{X,Y}^{2}T+\nabla _{\nabla _{X}Y}T

という関係を満たす^[54]。すなわち、本章で定義した二階共変微分は前の章で書いた二階共変微分の別定義を満たす。

証明

$Z$ の共変微分 $\nabla Z$ によって増えた引数に $Y$ を代入した値を $\nabla Z(Y)$ と書くと、 $\nabla Z(Y)=\nabla _{Y}Z$ であり $\nabla _{X}\nabla _{Y}Z$ $=\nabla _{X}(\nabla Z(Y))$ $=(\nabla ^{2}Z)(X,Y)+(\nabla Z)(\nabla _{X}Y)$ $=\nabla _{X,Y}^{2}Z+\nabla _{\nabla _{X}Y}Z$

リッチの公式

定理 (リッチの公式) ― $X$ 、 $Y$ を $M$ 上のベクトル場とし、 $f$ 、 $Z$ 、 $α$ をそれぞれ $M$ 上の実数値関数、ベクトル場、1-形式とする。このとき以下が成立する^[36]^[37]^[38]：

$\nabla _{X,Y}^{2}f-\nabla _{Y,X}^{2}f=0$
$\nabla _{X,Y}^{2}Z-\nabla _{Y,X}^{2}Z=R(X,Y)Z$
$(\nabla _{X,Y}^{2}\alpha -\nabla _{Y,X}^{2}\alpha )Z=-\alpha (R(X,Y)Z)$

なお、 $(R(X,Y)\lrcorner \alpha )(Z):=\alpha (R(X,Y)Z)$ と定義すれば^[55]、最後の式は

\nabla _{X,Y}^{2}\alpha -\nabla _{Y,X}^{2}\alpha =-R(X,Y)\lrcorner \alpha

と書ける。

一般の $(r,s)$ -テンソルの場合の公式は上記の公式にライプニッツ則を適用する事で得られる。例えば $(2,0)$ -テンソルに対しては、

\nabla _{X,Y}^{2}Z_{1}\otimes Z_{2}-\nabla _{Y,X}^{2}Z_{1}\otimes Z_{2}=(R(X,Y)Z_{1})\otimes Z_{2}+Z_{1}\otimes R(X,Y)Z_{2}

であるし^[56]、 $(1,1)$ -テンソルに対しては、下記のとおりである：

\nabla _{X,Y}^{2}Z\otimes \alpha -\nabla _{Y,X}^{2}Z\otimes \alpha =(R(X,Y)Z)\otimes \alpha -Z\otimes R(X,Y)\lrcorner \alpha

リーマン多様体上のベクトル解析

本節では勾配、発散、ラプラシアンという、ユークリッド空間におけるベクトル解析で定義されている演算子をリーマン多様体上でも定義する。

ホッジ作用素、余微分

→詳細は「ホッジ双対」を参照

リーマン多様体上のベクトル解析を展開するための準備としてホッジ作用素と余微分を定義する。 $m$ を $M$ の次元とする。 $M$ が向き付け可能なとき、 $M$ 上にリーマン計量 $g$ から定まる体積形式を $dV$ とする。 $\alpha \in \wedge ^{k}T^{*}M$ を微分形式とするとき

\beta \wedge \alpha =g(\beta ,*\alpha )dV

が任意の $\beta \in \wedge ^{m-k}T^{*}M$ に対して成立するような $*\alpha \in \wedge ^{m-k}T^{*}M$ が存在する。 $*\alpha$ を $α$ のホッジ双対といい、 $α$ に $*\alpha$ を対応させる作用素

*~:~\alpha \in \wedge ^{k}TM\mapsto *\alpha \in \wedge ^{m-k}TM

をホッジ作用素という^[57]。

さらに $\alpha \in \wedge ^{k}T^{*}M$ の余微分を

{\displaystyle \delta \alpha

により定義する^[58]。ここで $d$ は外微分であり、 $m$ を $M$ の次元である。外微分および余微分はレヴィ-チヴィタ接続による共変微分と以下の関係を満たす：

定理 ― $e_{1},\ldots ,e_{m}$ を $TM$ の局所的な正規直交基底とし、 $\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{m}$ をその双対基底とする。このとき $M$ 上の任意の微分形式 $α$ に対し、以下が成立する^[59]：

$d\alpha =\theta ^{i}\wedge \nabla _{e_{i}}\alpha$
$\delta \alpha =-\sum _{i}\iota _{e_{i}}\nabla _{e_{i}}\alpha$

ここで $\iota _{e_{i}}$ は $e i$ による内部積（英語版）

(\iota _{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-1}):=\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{n-1})

である。

勾配

$M$ 上の関数 $f~:~M\to \mathbb {R}$ に対し、fの勾配を以下のように定義する。

定理・定義 ―

(df)^{\sharp }=(\nabla f)^{\sharp }=g^{ij}{\partial f \over \partial x^{i}}{\partial  \over \partial x^{j}}

が成立する。この値を $\mathrm {grad} f$ と書き、 $f$ の勾配（英: gradient）という。

ここで $df$ は $f$ の外微分であり、「 ${}^{\sharp }$ 」は計量 $g$ による $T * M$ と $TM$ の同型写像であり、 $\nabla f$ は関数の $(0,0)$ -テンソルとみなしてテンソル場の共変微分 $\nabla _{X}f=Xf$ を考え、前節のように $\nabla f$ を定義したものであり、 $g^{ij}$ は局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ におけるリーマン軽量 $g$ の成分表示 $g^{ij}=g({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}})$ である。

発散

$M$ 上のベクトル場 $X$ の発散を以下のように定義する：

定理・定義 ―

\delta X^{\flat }=-{1 \over {\sqrt {|\mathrm {det} g|}}}{\partial  \over \partial x^{i}}({\sqrt {|\mathrm {det} g|}}X^{i})

は

（

Y\mapsto -\nabla _{Y}X

）のトレース

=-{\partial X^{i} \over \partial x^{i}}-\sum _{j}\Gamma ^{i}{}_{ij}X_{j}

と等しい^[60]。この値を $\mathrm {div} X$ と書き、 $X$ の発散（英: divergence）という^[61]。

ここで $δ$ は余微分であり、「 $\flat$ 」は計量 $g$ による $TM$ と $T * M$ の同型写像であり、 $\mathrm {det} g$ は局所座標 $(x^{1},\ldots ,x^{m})$ におけるリーマン軽量 $g$ の成分表示を $g^{ij}=g({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}})$ としたときの行列 $(g^{ij})_{ij}$ の行列式である。

発散のマイナスの符号は規約の問題で、ここに述べたものからマイナスの符号を取ったものを発散と呼ぶこともある^[61]。

ヘッシアン

$M$ 上の関数 $f~:~M\to \mathbb {R}$ に対し、前節のように $\nabla f$ を定義すると、 $\nabla f=df$ である。前節同様2階共変微分 $\nabla _{X,Y}^{2}f$ を定義する。

定義・定理 ―

\nabla _{X,Y}^{2}f=(YX-\nabla _{Y}X)f=\left({\partial f \over \partial x^{i}\partial x^{j}}-{\partial f \over \partial x^{k}}\Gamma ^{k}{}_{ij}\right)X^{i}Y^{j}

が成立する^[62]。点 $P\in M$ に対し、双線形写像

(X,Y)\in T_{P}M\to \nabla _{X,Y}^{2}f|_{P}\in \mathbb {R}

を $f$ の $P$ におけるヘッシアン（英: Hessian）という^[63]。

ヘッシアンは

\nabla _{X,Y}^{2}f=\nabla _{Y,X}^{2}f

を満たすことを証明できるので^[63]、ヘッシアンは対称2次形式である。

ラプラシアン

→「微分幾何学におけるラプラス作用素（英語版）」も参照

これまで同様に記号を取るとき、リーマン多様体上の関数 $f$ のラプラシアンを以下のように定義する：

定義 ― $M$ 上の関数 $f~:~M\to \mathbb {R}$ に対し、

\Delta f:=\mathrm {div} ~\mathrm {grad} f=\delta df=-\mathrm {tr} (\nabla ^{2}f)=-{1 \over {\sqrt {|\mathrm {det} g|}}}{\partial  \over \partial x^{i}}({\sqrt {|\mathrm {det} g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial x^{j}})

と定義し、 $Δ$ をラプラス＝ベルトラミ作用素（英語版）（英: Laplace–Beltrami operator）、あるいは単にラプラシアンという^[64]。

発散の定義でマイナスの符号がつく規約を採用した関係で、通常のラプラシアンとは符号が反対になっている事に注意されたい（この章で後述する他のラプラシアンも同様）。

上述したラプラシアンの定義を微分形式に拡張する事ができるが、拡張方法は（同値ではない）２通りの方法がある。

ホッジ・ラプラシアン

関数 $f$ に対するラプラシアンが $\Delta f=\delta df$ と書けていた事に着目し、微分形式 $α$ に対し、以下のようにラプラシアンを定義する：

定義 ― 　

{\displaystyle \Delta ^{H}\alpha

$α$ のホッジ・ラプラシアン（英: Hodge Laplacian）という^[58]。

なお、２つ目の等号は $dd=\delta \delta =0$ を使った。 $α$ が0次の微分形式、すなわち $M$ 上の関数の場合は $d\delta \alpha =0$ なので、関数の場合に対するホッジ・ラプラシアンはラプラス・ベルトラミ作用素に一致する。

ボホナー・ラプラシアン

関数 $f$ に対するラプラシアンが $-\mathrm {tr} (\nabla ^{2}f)$ と書けることに着目し、微分形式 $α$ のもう一つのラプラシアンを以下のように定義する：

定義 ― 　

{\displaystyle \Delta ^{B}\alpha

を $α$ のボホナー・ラプラシアン(英: Bochner Laplacian)^[65]、もしくはラフ・ラプラシアン（英: rough Laplacian）という^[66]。

ここで $e_{1},\ldots ,e_{n}$ は接ベクトル空間の局所的な正規直交基底である。 $E:=\wedge ^{k}T^{*}M$ とするとき、余ベクトル空間の内積 $g~:~T^{*}M\times T^{*}M\to \mathbb {R}$ が誘導する写像 $g~:~T^{*}M\otimes T^{*}M\to \mathbb {R}$ を考え、合成

\Gamma (T^{*}M\otimes E){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E){\overset {g}{\to }}\Gamma (E){\overset {\times (-1)}{\to }}\Gamma (E)

$\nabla ^{*}$ と書く。ここで $\Gamma (E)$ は $E$ に値を取るテンソル場の集合である。すると

{\displaystyle \Delta ^{B}\alpha

が成立する^[67]。

ヴァイツェンベック・ボホナーの公式

→詳細は「en:Weitzenböck identity」を参照

２つのラプラシアンは以下の関係を満たす：

定理 ― $e_{1},\ldots ,e_{m}$ を $TM$ の局所的な正規直交基底とし、 $\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{m}$ をその双対基底とし、さらに $α$ を $M$ 上定義された微分形式とする。このとき以下が成立する^[68]：

\Delta ^{H}\alpha =\Delta ^{B}\alpha +\sum _{i,j}\theta ^{i}\wedge \iota _{e_{j}}R(e_{i},e_{j})\lrcorner \alpha

ここで $R$ は曲率テンソルであり、 $(\iota _{e_{j}}R(e_{i},e_{j})\lrcorner \alpha )(X_{1},\ldots ,X_{n-1})=\alpha (R(e_{i},e_{j})e_{j},X_{1},\ldots ,X_{n-1})$ である。

上記の公式をヴァイツェンベック・ボホナーの公式^[69]^[70]（英: Weitzenböck–Bochner formula^[71]）あるいはヴァイツェンベックの公式（英: Weitzenböck formula^[68]）という。

特に $α$ が1-形式であれば、以下が成立する^[71]：

\Delta ^{H}\alpha -\Delta ^{B}\alpha =\mathrm {Ric} (\alpha )

ここで $\mathrm {Ric} (\alpha )$ はリッチ曲率 $\mathrm {Ric} (X,Y)$ を使って

\mathrm {Ric} (\alpha )(X)=\mathrm {Ric} (X,\alpha ^{\sharp })

により定義される1-形式であり、「 $\sharp$ 」は計量 $g$ による $T * M$ と $TM$ の同型写像である。

擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続

最後に一般相対性理論で重要な擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続について述べる。ここで擬リーマン多様体 $(M,g)$ とはリーマン多様体と同様、各点 $u\in M$ に対して $u$ に関してなめらかで非退化な二次形式 $g_{u}~:~T_{u}M\times T_{u}M\to \mathbb {R}$ を対応させるが、 $g$ に正定値性を要求しないものである^[72]^{[注 12]}。このような $g$ を擬リーマン計量という。 $M$ の次元を $m$ とするとき、擬リーマン多様体で特に $g$ の行列としての符号数が $(m-1,1)$ になるものを特にローレンツ多様体と呼び、一般相対性理論で時空間は $m=4$ の場合のローレンツ多様体として定式化される。

擬リーマン多様体 $(M,g)$ の場合も $g$ が正定値とは限らないだけで、リーマン多様体の場合と同じ式でレヴィ-チヴィタ接続を定義できる^[75]。またリーマン多様体の場合と同じ公理によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事も可能である^[75]。

平行移動、共変微分、測地線、正規座標、曲率といった概念も同様に定義でき、平行移動は $g$ を保つ線形写像となる。

一方、リーマン多様体のものとの違いとしては、Hopf-Rinowの定理が成り立たない事が挙げられる。リーマン多様体の場合、 $M$ がコンパクトであれば $M$ は距離空間として完備なのでHopf-Rinowの定理から $M$ は測地線完備になる。しかし $M$ がコンパクトであっても、 $M$ 上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてクリフトン-ポールトーラス^{[訳語疑問点]}が知られている。

また擬リーマン多様体では $\|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}$ が定義できるとは限らないので、測地線を長さ $\int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|dt$ の停留曲線として特徴づける事はできない。しかしエネルギー $\int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|^{2}dt$ は擬リーマン多様体でも定義でき、測地線をエネルギーの停留曲線として特徴づけられる^[76]。一般相対性理論においては、これはエネルギーを極小にする曲線が自由落下の軌道である事を意味する^[76]。

歴史

レヴィ・チヴィタ接続は、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ(Tullio Levi-Civita)の名前に因んでいるが、接続に相当する概念はエルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)によってそれ以前に導入されていた。レヴィ・チヴィタは^[77]、グレゴリオ・リッチ・クルバストロ（英語版）(Gregorio Ricci-Curbastro)とともに、クリストッフェルの記号^[78]を用いて平行移動の概念を定義し、平行移動と曲率との関係を研究した。それによってホロノミーの現代的定式化を開発した^[79]。

レヴィ・チヴィタによる曲線に沿ったベクトルの平行移動や内在的微分という概念は、元々 $M^{n}\subset \mathbf {R} ^{\frac {n(n+1)}{2}}$ という特別な埋め込みに対して考えられた。しかし、実際にはそれらは抽象的なリーマン多様体にたいしても意味をなす概念である。何故ならば、クリストッフェルの記号は任意のリーマン多様体上で意味を持つからである。

1869年、クリストッフェルは、ベクトルの内在的微分の各成分は反変ベクトルと同様な変換にしたがうことを発見した。この発見はテンソル解析の真の始まりである。1917年になって初めて、レヴィ・チヴィタによって、アフィン空間に埋め込まれた曲面の内在的微分が、周囲のアフィン空間での通常の微分の接方向成分として解釈された。

注

出典

[1]
#Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
[2]
#新井 p.304.
[3]
#Tu p.45.
[4]
#Andrews Lecture 10, p.2.
[5]
#Tu p.45.
[6]
#Tu p.49.
[7]
#Tu pp.56-58.
[8]
#Piccione p.167.
[9]
#Tu p.46.
[10]
##Viaclovsky pp.23, 25, 26
[11]
#Viaclovsky p. 23.
[12]
#Parker p.7.
[13]
#Taylor p.92.
[14]
#Berger p.705.
[15]
#Kobayashi-Nomizu-1 p.144.
[16]
#Tu p.263.
[17]
#Tu p.113.
[18]
#Spivak p.251.
[19]
#小林 p.72.
[20]
Richard Sharpe (1997/6/12). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Graduate Texts in Mathematics. 166. Sprinver. p. 386. ISBN 978-0387947327
[21]
#小林 p.38.
[22]
#Tu p.80.
[23]
#Tu p.103.
[24]
#Tu p.138.
[25]
#Tu p.130.
[26]
#Tu p.131.
[27]
#Berger p.227.
[28]
#新井 p.324.
[29]
#Lee p.101.
[30]
#新井 pp.324-326.
[31]
#佐々木 pp.89-91.
[32]
#新井 pp.329-331.
[33]
#Tu p.118.
[34]
#Kobayashi-Nomizu-1 p.149.
[35]
#小林 p.43
[36]
#Berger p.706.この文献では本項のものと符号が逆だが、これは $\nabla _{X,Y}$ の $X$ と $Y$ をどちらの引数に入力するかの規約が本項のものと反対なため。
[37]
#Viaclovsky pp.18-19, 24-25.
[38]
#Gallier p.395.この文献では本項のものと符号が反転しているが、p.394にあるように曲率の符号として通常と反対の規約を採用しているためである。
[39]
#Gallier p.394.
[40]
#Tu pp.204-207.
[41]
#Kobayashi-Nomizu-1 p.135.
[42]
#Kobayashi-Nomizu-1 p.145.
[43]
#Viaclovsky p.12.
[44]
Jeff A. Viaclovsky. “240AB Differential Geometry”. University of California, Irvine. p. 81. 2023年6月23日閲覧。なお添字の順番が引用元と異なっているが、これは $R_{ikj\ell }$ の添字の順番が引用元と異なっているからである。
[45]
#Prasolov p.203.
[46]
#Rani p.22.
[47]
#Tu p.92.
[48]
#Tu p.208-209.
[49]
#Carmo p.97.
[50]
#Carmo p.94.
[51]
#Carmo p.131.
[52]
#Carmo p.96.
[53]
#Tu p.206.
[54]
#Viaclovsky pp.23, 25, 26.
[55]
#Parker p.13.
[56]
#Viaclovsky p.15.
[57]
#Gallier p.100.
[58]
#Gallier p.375.
[59]
#Wang-25 p.4.
[60]
#Gallier pp.378, 382-383.
[61]
#Gallier pp.296, 298, 382
[62]
#Gallier p.367.
[63]
#Viaclovsky pp.18-19.
[64]
#Gallier pp.296, 381-382.
[65]
#Gallier pp.392, 394.
[66]
#Viaclovsky p.25.
[67]
#Parker p.15, #Gallier pp.392.
[68]
#Wang-27 p.2.
[69]
“第 66回幾何学シンポジウム予稿集”. 名古屋大学. p. 175. 2023年11月1日閲覧。
[70]
“微分幾何学講義”. p. 6. 2023年11月1日閲覧。
[71]
#Gallier pp.396.
[72]
#新井 p.281.
[73]
“pseudo Riemann manifold, nLab”. 2023年10月25日閲覧。
[74]
“Pseudo Riemannian manifolds”. 東京工業大学. 2023年10月25日閲覧。
[75]
#新井 pp.300-302.
[76]
#新井 pp.329-331.
[77]
See Levi-Civita (1917)
[78]
See Christoffel (1869)
[79]
See Spivak (1999) Volume II, page 238

注釈

[1]
$c'(t)$ は $t$ によらず接バンドル $TM$ の元なので、 $TM$ 自身を多様体とみなす事により $c'(t)$ を更にもう一度微分できるため、例えばこの方法で二階微分を定義する事ができるが、そのように定義した二階微分は $T_{c(t)}M$ の元にはならない。
なお、ここで述べた二階微分の定義を用いる事で一般のファイバーバンドルに対する接続を定義する事ができる事が知られている。
[2]
なおこれらの文献では、後述する公理を満たすものをレヴィ-チヴィタ接続と呼び、この公理を満たすものがここに挙げた形で書ける事を「定理」としているが、公理を満たすものは一意なので、ここに挙げたものを定義としてもよい。
[3]
物理学では「テンソル」という言葉を数学とは若干違った言葉遣いで用いており、ここでは物理学における「テンソル」の語を指している。
両者の言葉遣いの違いは以下の通りである。数学では局所座標とは無関係にテンソル概念を定義した上で、必要に応じてテンソル $T$ を $T=T^{i}{}_{jk}\partial _{x^{i}}\otimes \mathrm {d} x^{j}\otimes \mathrm {d} x^{k}$ のように成分表示するのに対し、物理学では逆に、個々の局所座標 $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ 、 $({\hat {x}}_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{m})$ に対する物理量の成分表示 $(T^{i}{}_{jk})_{i,j,k}$ 、 $({\hat {T}}^{s}{}_{tu})_{s,t,u}$ をスタートラインとし、これらが同一の（数学の意味での）テンソルの成分表示になっているかを実際に座標変換する事により確認する。すなわち、変換則
$T^{i}{}_{jk}{\partial {\hat {x}}^{s} \over \partial x^{i}}{\partial x^{j} \over \partial {\hat {x}}^{t}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{u}}={\hat {T}}^{s}{}_{tu}$
が成立するかを確認し、この等式が成立する事をもってその物理量は（物理学の意味での）テンソルであるという。
レヴィ-チヴィタ接続のクリストッフェル記号の場合は、上述の変換則を一般には満たさないので、クリストッフェル記号は物理学用語でいうテンソルにはならない。
[4]
ナッシュの埋め込み定理により、コンパクトな多様体は必ず十分次元の高いユークリッド空間に埋め込み可能である。
[5]
なお、捩率テンソルの事を「捩れテンソル」ともいうが、英語では、「捩れテンソル」はtorsion tensor、「ねじれのない転がし」の「ねじれ」はtwistであり、両者は無関係な概念である。
[6]
成分 $\omega ^{i}{}_{j}$ 接続形式といい、 $ω$ を接続行列（英: connection matrix）と呼ぶ場合もある^[22]。
[7]
厳密には以下の通りである。 $M$ の曲線 $c(t)$ に沿って定義された局所的な基底 $e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))$ を考え、 $e(0)$ を $c(t)$ に沿って平行移動したものを ${\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{m}(t))$ として行列 $A(t)$ を $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ により定義すると、接続形式の定義より、 $e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)$ $=\left.{\nabla \over dt}e(t)\right|_{t=0}$ $=\left.{\nabla \over dt}{\bar {e}}(t)A(t)\right|_{t=0}$ $={\bar {e}}(0){dA \over dt}(0)$ $=e(0){dA \over dt}(0)$ が成立する。ここで ${\nabla \over dt}e(t)$ は成分ごとの微分 $\left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{m}(t)\right)$ の事である。 $\nabla$ が計量と両立すれば、 ${\bar {e}}(t)$ は正規直交基底である。よって $e(t)$ が正規直交基底であれば、 $e(t)={\bar {e}}(t)A(t)$ より $A(t)$ は回転変換であり、 $A(t)$ の微分は歪対称行列である。
[8]
なお、一般相対性理論ではここに書いたのとは異なる解釈をする。具体的には ${\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c(t)=0$ を成分で ${d^{2} \over dt^{2}}x^{i}(t)+{dx^{j} \over dt}{dx^{k} \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial \over \partial x^{i}}=0$ と表示し、重力 $-{dx^{j} \over dt}{dx^{k} \over dt}\Gamma _{jk}^{i}$ が質点にかかる事で加速度 ${d^{2} \over dt^{2}}x^{i}(t)$ が変化すると解釈する。
[9]
この名称は ${\bar {L}}(x,v)={\tfrac {g_{x}(v,v)}{2}}$ が物理学的にエネルギーに対応している事による。これは ${\bar {L}}(x,v)$ が質量 $m = 1$ の場合の運動エネルギー ${\tfrac {|v|^{2}}{2}}$ と同じ形をしている事から了解できるであろう。なお、一般相対性理論ではリーマン多様体の代わりにローレンツ多様体を考え、 ${\bar {L}}(x,v)$ が４元エネルギーを表しており、対応する測地線方程式は自由落下に相当する。質量 $m$ の場合のラグランジアン ${\bar {L}}(x,v)={\tfrac {mg_{x}(v,v)}{2}}$ に対応する測地線方程式も、両辺を $m$ で割ればよいので $m = 1$ の場合と同一になる。
[10]
成分表示の添字の取り方は文献によって異なるので注意されたい。我々は#Kobayashi-Nomizu-1 p.144に従い、
$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$
としたが、#Viaclovsky p.11では
$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}=R_{ijk}{}^{\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}$
としている。
[11]
断面曲率との関係性を示すために両辺の分母を表記したが、両辺の分母は同一であるので、実際には分母は必要ない。
[12]
なお、#新井 p.281では本項でいう擬リーマン多様体を「一般リーマン多様体」と呼び、「一般リーマン多様体」のうち $g$ が正定値ではないもの（すなわちリーマン多様体ではないもの）を擬リーマン多様体と呼んでいるが、本項では他の文献^[73]^[74]にあわせて $g$ が正定値のものも擬リーマン多様体と呼ぶことにした。

定義

クリストッフェル記号

リーマン幾何学の基本定理

Koszulの公式

二階共変微分

規約

略記法

定義

性質

ホロノミー群

定義

存在性と一意性

特徴づけ

弧長の停留曲線

エネルギーの停留曲線

正規座標

動機

定義と性質

定義

規約

性質

成分表示

特徴づけ

断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率

部分リーマン多様体における断面曲率

定曲率空間

1-形式の共変微分

(r,s)-テンソル場の共変微分

定義

具体例

テンソル場の二階共変微分

定義

性質

リッチの公式

ホッジ作用素、余微分

勾配

発散

ヘッシアン

ラプラシアン

ホッジ・ラプラシアン

ボホナー・ラプラシアン

ヴァイツェンベック・ボホナーの公式

出典

注釈

参考文献

歴史的な文献

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$(r, s)$ -テンソル場の共変微分