レヴィ＝ルブロン方程式

量子力学において、レヴィ＝ルブロン方程式（Lévy-Leblond equation）はスピン1/2粒子のダイナミクスを記述するために、シュレーディンガー方程式およびパウリ方程式を線形化したものである。1967年にフランスの物理学者ジャン＝マルク・レヴィ＝ルブロン（英語版）によって導出された^[1]。

レヴィ＝ルブロン方程式はディラック方程式と同様のヒューリスティックな導出により得られたが、後者と異なり、レヴィ＝ルブロン方程式は相対論的ではない。両方程式が電子のジャイロ磁気比（英語版）を再現することから、スピンは必ずしも相対論的現象ではないことが示唆される。

質量 $m$ をもつ非相対論的スピン1/2粒子について、時間に依存しないレヴィ＝ルブロン方程式の一表現は次のように書ける^[1]。

{\begin{cases}E\psi +({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\chi =0,\\({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\psi +2mc^{2}\chi =0.\end{cases}}

ここで $c$ は光速、 $E$ は非相対論的な粒子エネルギー、 $p = - i ℏ \nabla$ は運動量演算子、 $σ = (σ x, σ y, σ z)$ はパウリ行列のベクトルであり、スピン演算子 $S = ℏ σ /2$ に比例する。 $ψ, χ$ は粒子の波動関数を記述する2成分の関数（スピノル）である。

最小結合（英語版）により、方程式は電磁場の存在を考慮するように修正できる^[1]。

{\begin{cases}(E-qV)\psi +[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )c]\chi =0,\\{[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )c]}\psi +2mc^{2}\chi =0.\end{cases}}

ここで $q$ は粒子の電荷、 $V$ は静電ポテンシャル、 $A$ はベクトルポテンシャルである。この方程式は空間微分に関して線形である。

スピンとの関係

1928年、ポール・ディラックは相対論的な分散関係を線形化し、現在ディラック方程式と呼ばれるものを得た。これは双スピノルによって記述される。この方程式は非相対論的極限で2つのスピノルへと分離でき、電子の磁気モーメントに対して磁気回転比 $g = 2$ であること説明した^[2]。ディラック理論のこの成功により、スピンは相対論的現象であると誤って主張するテキストも現れた^[3]^[4]。

レヴィ＝ルブロンは同じ手法を非相対論的なエネルギー関係に適用し、同様に $g = 2$ の予測が得られることを示した^[2]。実際、ディラック方程式からパウリ方程式を導くには、レヴィ＝ルブロン方程式を経由する必要がある^[2]。したがってスピンは量子力学および方程式の線形化に由来するものであり、必ずしも相対論的効果ではない^[3]^[5]。

レヴィ＝ルブロン方程式はガリレイ不変性を満たす。この方程式は、スピン1/2系のいくつかの性質を説明するのに、完全なポアンカレ群を必要としないことを示している^[4]。 $c \to \infty$ の古典極限（英語版）では、ガリレイ変換群の下での量子力学で十分である^[1]。同様に、任意のスピンに対して非相対論的な線形方程式を構成することができる^[1]^[6]。同じ考え方のもとで、ガリレイ電磁気学（英語版）のための方程式も構成できる^[1]。

他の方程式との関係

シュレーディンガー方程式とパウリ方程式

→詳細は「パウリ方程式」を参照

レヴィ＝ルブロン方程式の第2式を第1式へ代入すると、パウリ行列の代数を用いて次式が得られる^[3]。

{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} )^{2}\psi -E\psi =\left[{\frac {1}{2m}}\mathbf {p} ^{2}-E\right]\psi =0

,

これは二値のスピノルに対するシュレーディンガー方程式である。なお、 $χ$ について解いても、もう一つのシュレーディンガー方程式が得られる。電磁場中のスピン1/2粒子に対するパウリの表式は、最小結合により再現できる^[3]。

\left\{{\frac {1}{2m}}[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )]^{2}+qV\right\}\psi =E\psi

.

レヴィ＝ルブロン方程式が微分に関して線形であるのに対し、パウリ方程式とシュレーディンガー方程式は空間微分に関して2次である。

ディラック方程式

→詳細は「ディラック方程式」を参照

ディラック方程式は次のように書ける^[1]。

{\begin{cases}({\mathcal {E}}-mc^{2})\psi +({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\chi =0,\\({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} c)\psi +({\mathcal {E}}+mc^{2})\chi =0.\end{cases}}

ここで ${\mathcal {E}}$ は全相対論的エネルギーである。非相対論的極限では、 ${\textstyle E\ll mc^{2}}$ かつ ${\textstyle {\mathcal {E}}\approx mc^{2}+E+\cdots }$ となり、レヴィ＝ルブロン方程式が現れる。

ヒューリスティックな導出

ディラックによる歴史的な導出と同様に、非相対論的な分散関係 $E = p 2 / 2 m$ の線形化を試みることができる。空間微分である $p$ と $E$ について一次の、2つの作用素 $Θ, Θ'$ を次のように仮定する^[3]。

{\begin{cases}\Theta \Psi =[AE+\mathbf {B} \cdot \mathbf {p} c+2mc^{2}C]\Psi =0,\\\Theta '\Psi =[A'E+\mathbf {B} '\cdot \mathbf {p} c+2mc^{2}C']\Psi =0.\end{cases}}

$A, A', B = (B x, B y, B z), B' = (B' x, B' y, B' z), C, C'$ に対して、それらの積が古典的な分散関係を再現するようにする。すなわち、

{\frac {1}{2mc^{2}}}\Theta '\Theta =E-{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}

,

ここで係数 $2 mc 2$ は正規化のために選ばれる任意定数である。積を展開すると、 $A, A', B i, B' i, C, C'$ が一次元定数である場合には解が存在しないことが分かる。解が存在する最小の次元は4である。このとき $A, A', B, B', C, C'$ は次の関係を満たす行列でなければならない。

{\begin{cases}A'A=0,\\C'C=0,\\A'B_{i}+B_{i}'A=0,\\C'B_{i}+B_{i}'C=0,\\A'C+C'A=I_{4},\\B_{i}'B_{j}+B_{j}'B_{i}=-2\delta _{ij}.\end{cases}}

ここで $I N$ は次元 $N$ の単位行列である。これらの関係式は、クリフォード代数におけるガンマ行列を含む形に整えることができる^[3]^[2]。1つの可能な表現は次のとおりである。

A=A'={\begin{pmatrix}0&0\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad B_{i}=-B_{i}'={\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix}},\quad C=C'={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\0&0\end{pmatrix}}

,

$Θ Ψ = 0$ となるように、 $Ψ = (ψ, χ)$ とすれば、レヴィ＝ルブロン方程式が得られる。他の表現を選ぶことも可能であり、その場合、符号や位相が異なるが同値な方程式が導かれる^[2]^[3]。