ロドリゲスの公式

ロドリゲスはルジャンドル多項式　${\displaystyle P_{n}(x)}$を次のように記述した：

${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}(x^{2}-1)^{n}}$

スツルム＝リウヴィル型微分方程式の解として得られる直交函数系において同様の公式が成立することも多く、直交多項式系が得られるような場合についてはそれらの公式もロドリゲスの公式と呼ばれる。例えば以下のようなものがある。

• ラゲールの多項式 ${\displaystyle L_{n}(x)}$

${\displaystyle L_{n}(x)=e^{x}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}\left(x^{n}e^{-x}\right)}$

• エルミート多項式 ${\displaystyle H_{n}(x)}$

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}e^{-x^{2}}}$

• ゲーゲンバウアー多項式 ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]}$